3. Variables al´ eatoires continues 53
3.25
Dans un atelier de c´ eramique on produit des petites plaques carr´ ees de
largeur L. Cette valeur L est une variable al´ eatoire dont la fonction de densit´ e
est d´ efinie de la mani` ere suivante
f L (x) =
6x(1 − x) 0 < x < 1
0
s i n o n .
1. Calculer la fonction de densit´ e de la surface S d’une plaque.
2. Calculer l’esp´ erance de la variable al´ eatoire S.
3.26
Dans une usine, on fabrique des boules pour la d´ ecoration de sapins de
No¨ el. Le rayon de ces boules est une variable al´ eatoire R qui a pour fonction
de densit´ e
f R (r) =
2
9 r(3 − r) 0 ≤ r ≤ 3
0
s i n o n .
1. L’usine s’int´ eresse ` a la quantit´ e de mati` ere n´ ecessaire pour fabriquer ces
boules et demande de calculer la fonction de densit´ e de la surface S =
4πR
2 d’une boule.
2. Calculer l’esp´ erance de la variable al´ eatoire S.
3.27
Soit X une variable al´ eatoire continue ayant une fonction de r´ epartition F .
On d´ efinit la variable al´ eatoire Y par Y = F (X).
Montrer que Y est uniform´ ement distribu´ ee sur l’intervalle (0, 1).
Exercices combin´ es
3.28
Les pi` eces d’une voiture sont souvent copi´ ees et vendues comme pi` eces originales. On veut remplacer certaines pi` eces d’une voiture. Avec probabilit´ e 1/4,
on ach` ete une pi` ece pirat´ ee et avec probabilit´ e 3/4 on ach` ete une pi` ece originale. La dur´ ee de vie est une variable al´ eatoire exponentielle avec esp´ erance 2
pour une pi` ece pirat´ ee et avec esp´ erance 5 pour une pi` ece originale. Appelons
T la dur´ ee de vie de la pi` ece que l’on ach` ete. Supposons que la pi` ece ait surv´ ecu
jusqu’au temps t apr` es son installation. Quelle est la probabilit´ e π(t) que cette
pi` ece soit pirat´ ee? Trouver la limite de π(t) lorsque t → ∞.