52 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
3.20
Soit X une variable al´ eatoire distribu´ ee suivant la loi de Weibull de param` etres α > 0 et β > 0. La densit´ e de X est donc d´ efinie par la fonction
f (x) =
β
α
x
α
β−1 exp[−(
x
α )
β ] si x > 0
0
s i n o n .
Soit Y = (X/α)
β . Calculer la fonction de densit´ e de Y . De quelle loi s’agit-il?
3.21
Soit X ∼ χ
2
1 et d´ efinissons Y = ln(X). Trouver la fonction de r´ epartition
de Y et sa densit´ e.
3.22
Supposons qu’une administration fiscale, dans la d´ eclaration d’impˆ ot d’un
ind´ ependant, ne prenne en compte des d´ eductions professionnelles autoris´ ees et
justifi´ ees qu’` a partir de 5 000 e. Soit X (exprim´ e en milliers d’euros) le total
des d´ eductions d’une d´ eclaration choisie au hasard. La variable al´ eatoire X est
suppos´ ee suivre une loi dont la densit´ e est f X (x) =
k
x α si x ≥ 5.
1. D´ eterminer la valeur de k. Quelle restriction sur α doit-on faire afin que
f (x) soit une densit´ e?
2. D´ eterminer la fonction de r´ epartition F X (x) de X.
3. Montrer que Y = ln(X/5) suit une loi exponentielle de param` etre (α − 1).
3.23
Une variable al´ eatoire X suit une distribution de Pareto de densit´ e
f α (x) =
αx
α
0 x
−(1+α)
si x > x 0
0
s i n o n .
avec x 0 > 0 et α > 1.
Trouver la densit´ e de la variable al´ eatoire Y = ln(X).
3.24
Soit V une variable al´ eatoire distribu´ ee suivant la loi de Cauchy de densit´ e
f (v) =
1
π
1
(1 + v 2 )
, v ∈ R.
Soit Z = 1/V . Calculer la densit´ e de Z. Que remarquez-vous?