3. Variables al´ eatoires continues 51
amende (taux d’alcool > 0,08 %) si l’on suppose que le taux d’alcool chez les
automobilistes est distribu´ e selon une loi normale d’esp´ erance µ = 0,07 % et
d’´ ecart-type σ = 0,01 % ? En plus de l’amende, les conducteurs ayant plus de
0,09 % ont un retrait de permis. Parmi les automobilistes r´ eprimand´ es, quelle
est la proportion de retraits de permis?
3.16
Lors d’un proc` es en attribution de paternit´ e, un expert t´ emoigne que la
dur´ ee de la grossesse, en jours, est de distribution approximativement normale
avec param` etres µ = 270 et σ
2 = 100. L’un des p` eres putatifs est en mesure de
prouver son absence du pays pendant une p´ eriode s’´ etendant entre le 290
e et le
240
e jour pr´ ec´ edent l’accouchement.
Quelle est la probabilit´ e que la conception de l’enfant ait eu lieu plus de
290 jours avant sa naissance ou moins de 240 jours avant?
3.17
Sur une route principale o` u la vitesse est limit´ ee ` a 80 km/h, un radar a
mesur´ e la vitesse de toutes les automobiles pendant une journ´ ee. En supposant
que les vitesses recueillies soient distribu´ ees selon une loi normale avec une
moyenne de 72 km/h et un ´ ecart-type de 8 km/h, r´ epondez aux questions
suivantes.
1. Quelle est la proportion de conducteurs qui devront payer une amende
pour exc` es de vitesse?
2. Sachant qu’en plus de l’amende, un exc` es de plus de 30 km/h implique
un retrait de permis, quelle est la proportion des conducteurs qui vont se
faire retirer le permis parmi ceux qui vont avoir une amende?
Transformations de variables
3.18
Soit X ∼ N (0,1) et d´ efinissons Y = X
2 .
Trouver la fonction de r´ epartition de Y et sa densit´ e. Repr´ esenter graphiquement cette densit´ e.
Cette distribution est appel´ ee une loi de χ
2
1 (chi carr´ e ` a un degr´ e de libert´ e).
3.19
Soit V ∼ U(0,1). Calculer la fonction de r´ epartition de W =
−1
λ ln(V ) et sa
densit´ e. De quelle loi s’agit-il?
amende (taux d’alcool > 0,08 %) si l’on suppose que le taux d’alcool chez les
automobilistes est distribu´ e selon une loi normale d’esp´ erance µ = 0,07 % et
d’´ ecart-type σ = 0,01 % ? En plus de l’amende, les conducteurs ayant plus de
0,09 % ont un retrait de permis. Parmi les automobilistes r´ eprimand´ es, quelle
est la proportion de retraits de permis?
3.16
Lors d’un proc` es en attribution de paternit´ e, un expert t´ emoigne que la
dur´ ee de la grossesse, en jours, est de distribution approximativement normale
avec param` etres µ = 270 et σ
2 = 100. L’un des p` eres putatifs est en mesure de
prouver son absence du pays pendant une p´ eriode s’´ etendant entre le 290
e et le
240
e jour pr´ ec´ edent l’accouchement.
Quelle est la probabilit´ e que la conception de l’enfant ait eu lieu plus de
290 jours avant sa naissance ou moins de 240 jours avant?
3.17
Sur une route principale o` u la vitesse est limit´ ee ` a 80 km/h, un radar a
mesur´ e la vitesse de toutes les automobiles pendant une journ´ ee. En supposant
que les vitesses recueillies soient distribu´ ees selon une loi normale avec une
moyenne de 72 km/h et un ´ ecart-type de 8 km/h, r´ epondez aux questions
suivantes.
1. Quelle est la proportion de conducteurs qui devront payer une amende
pour exc` es de vitesse?
2. Sachant qu’en plus de l’amende, un exc` es de plus de 30 km/h implique
un retrait de permis, quelle est la proportion des conducteurs qui vont se
faire retirer le permis parmi ceux qui vont avoir une amende?
Transformations de variables
3.18
Soit X ∼ N (0,1) et d´ efinissons Y = X
2 .
Trouver la fonction de r´ epartition de Y et sa densit´ e. Repr´ esenter graphiquement cette densit´ e.
Cette distribution est appel´ ee une loi de χ
2
1 (chi carr´ e ` a un degr´ e de libert´ e).
3.19
Soit V ∼ U(0,1). Calculer la fonction de r´ epartition de W =
−1
λ ln(V ) et sa
densit´ e. De quelle loi s’agit-il?