48 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
3.5
Soit X une variable al´ eatoire de densit´ e
f (x) =
c(a)(a
2
− x
2 ) si |x| ≤ a
0
s i n o n .
1. D´ eterminer la constante de normalisation c(a).
2. Donner la fonction de r´ epartition de X.
3. Calculer E(X) et var(X).
3.6
Soit f (x) une fonction de densit´ e d´ efinie sur R. On d´ efinit
f (x) = (1 − )f (x) +
b
f
x
b
,
o` u 0 < < < 0,05 et b > 1, une perturbation de f (x).
1. Montrer que f (x) est une fonction de densit´ e.
2. Soit f (x) la densit´ e d’une distribution normale avec esp´ erance 0 et variance 1. Calculer E(X) et var(X), o` u X ∼ f (x).
Indication : pour la d´ erivation de la variance, calculer E(X
2 ).
3. Soit b = 3 et = 0,05. Interpr´ eter f (x) du point 2. et comparer
avec f (x).
3.7
Tous les jours, S´ ebastien parcourt le mˆ eme trajet de 40 km pour se rendre
` a son travail. Sa vitesse est une variable al´ eatoire V qui d´ epend des conditions
m´ et´ eorologiques et de la circulation. Sa densit´ e est de la forme
f V (v) =
Cv exp(−λv) v ≥ 0
0
s i n o n .
S´ ebastien roule `
a une vitesse moyenne de 80 km/h.
1. D´ eterminer les valeurs de C et de λ.
2. La dur´ ee du trajet est d´ ecrite par la variable T =
40
V . D´ eterminer la
densit´ e et l’esp´ erance de T .
3.8
La fonction de densit´ e de X, variable al´ eatoire repr´ esentant la dur´ ee de vie
en heures d’un certain composant ´ electronique, est donn´ ee par
f (x) =
10/x
2 x > 10
0
x ≤ 10.