3. Variables al´ eatoires continues 47
Exercices
Moments et probabilit´ es
3.1
Soit X une variable al´ eatoire continue de fonction de densit´ e f (x).
1. D´ emontrer que var(X) = E(X
2 ) − (E(X))
2 .
2. D´ emontrer que var(aX) = a
2 var(X).
3.2
Soit X une variable al´ eatoire dont la fonction de densit´ e est
f (x) =
c(1 − x
2 ) −1 < x < 1
0
s i n o n .
1. Calculer la valeur de c.
2. Quelle est la fonction de r´ epartition de X ?
3. Calculer E(X).
3.3
Soit X une variable al´ eatoire dont la fonction de densit´ e est
f (x) =
sin(x) 0 < x <
π
2
0
s i n o n .
1. Quelle est la fonction de r´ epartition de X ?
2. Calculer E(X).
3. Calculer Var(X).
3.4
On dit que la variable al´ eatoire X suit la loi exponentielle de param` etre λ,
not´ ee ε(λ), si sa densit´ e est
f (x) =
λ exp(−λx) x ≥ 0
0
s i n o n .
1. Calculer la fonction de r´ epartition F (x).
2. Que vaut le α-quantile q = F
−1 (α)?