46 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
La loi uniforme
La loi uniforme est la loi continue la plus simple. Une variable al´ eatoire X
suit une loi uniforme sur l’intervalle [a, b], X ∼ U(a, b), si sa fonction de densit´ e
est ´ egale `
a 1/(b − a) sur l’intervalle [a, b] et 0 ailleurs. La loi U(0,1) joue un rˆ ole
particulier car des algorithmes permettent la g´ en´ eration efficace par ordinateur
de r´ ealisations (« nombres al´ eatoires ») d’une variable al´ eatoire qui suit cette
loi. Cela permet ensuite de g´ en´ erer des r´ ealisations de variables al´ eatoires qui
suivent d’autres lois discr` etes ou continues (exercices 3.27, 3.31, 3.37 et 3.38).
Ceci est ` a la base des techniques de simulation de processus al´ eatoires par
ordinateur, un outil indispensable pour la mod´ elisation statistique moderne.
La loi normale
La loi normale a ses racines et sa justification dans le th´ eor` eme central
limite (voir l’introduction du chapitre 5). La fonction de densit´ e d’une variable
al´ eatoire normale standard, X ∼ N (0, 1), est donn´ ee par
ϕ(x) =
1
√
2π
exp{−
1
2
x
2
}.
On a E(X) = 0 et var(X) = 1. Notons comme curiosit´ e que l’importance de
cette loi se refl` ete aussi dans le fait que sa densit´ e ϕ(x) contient trois concepts
fondamentaux en math´ ematiques, les nombres
√
2, π, e.
Notes historiques
En ce qui concerne la loi normale, voir l’introduction du chapitre 5.
R´ ef´ erences (th´ eorie)
Ross, chapitres 5 et 7 [1] et Pitman, chapitre 4 [2].