Chapitre 3
Variables al´ eatoires
continues
Introduction
Le passage des mod` eles discrets aux mod` eles continus intervient dans beaucoup de domaines de la science. Dans notre cas, cela consiste ` a consid´ erer un
passage ` a la limite d’une loi de probabilit´ e discr` ete quand l’ensemble des valeurs possibles de la variable al´ eatoire augmente et devient toujours plus dense.
Ceci conduit `
a caract´ eriser une variable al´ eatoire continue par sa fonction de
densit´ e, une fonction non-n´ egative et telle que l’int´ egrale (la surface totale)
au-dessous de cette courbe soit ´ egale `
a 1. La probabilit´ e est repr´ esent´ ee par la
surface au-dessous de la courbe correspondant ` a un intervalle donn´ e
P (X ∈ [a, b]) =
b
a
f (x)dx ,
o` u f (.) est la fonction de densit´ e. Une variable al´ eatoire continue peut aussi ˆ etre
caract´ eris´ ee par sa fonction de r´ epartition F (x) = P (X < x), par sa fonction
de survie S(x) = P (X > x) ou par sa fonction de risque λ(x) =
f (x)
S(x) =
−
d
dx log S(x).
La premi` ere partie de ce chapitre pr´ esente des exercices sur ces outils de
base (exercices 3.1 ` a 3.10). Comme dans le cas discret, on a ensuite recueilli
les exercices concernant quelques lois continues de probabilit´ e. On traite en
particulier la loi de base la plus simple, la loi uniforme, ainsi que la loi la plus
importante, la loi normale (exercices 3.11 `
a 3.17).
Des exercices concernant la loi d’une transformation d’une variable al´ eatoire
continue (exercices 3.18 `
a 3.27) ainsi que d’autres aspects concernant les lois
continues (exercices 3.28 `
a 3.39) concluent ce chapitre.
Variables al´ eatoires
continues
Introduction
Le passage des mod` eles discrets aux mod` eles continus intervient dans beaucoup de domaines de la science. Dans notre cas, cela consiste ` a consid´ erer un
passage ` a la limite d’une loi de probabilit´ e discr` ete quand l’ensemble des valeurs possibles de la variable al´ eatoire augmente et devient toujours plus dense.
Ceci conduit `
a caract´ eriser une variable al´ eatoire continue par sa fonction de
densit´ e, une fonction non-n´ egative et telle que l’int´ egrale (la surface totale)
au-dessous de cette courbe soit ´ egale `
a 1. La probabilit´ e est repr´ esent´ ee par la
surface au-dessous de la courbe correspondant ` a un intervalle donn´ e
P (X ∈ [a, b]) =
b
a
f (x)dx ,
o` u f (.) est la fonction de densit´ e. Une variable al´ eatoire continue peut aussi ˆ etre
caract´ eris´ ee par sa fonction de r´ epartition F (x) = P (X < x), par sa fonction
de survie S(x) = P (X > x) ou par sa fonction de risque λ(x) =
f (x)
S(x) =
−
d
dx log S(x).
La premi` ere partie de ce chapitre pr´ esente des exercices sur ces outils de
base (exercices 3.1 ` a 3.10). Comme dans le cas discret, on a ensuite recueilli
les exercices concernant quelques lois continues de probabilit´ e. On traite en
particulier la loi de base la plus simple, la loi uniforme, ainsi que la loi la plus
importante, la loi normale (exercices 3.11 `
a 3.17).
Des exercices concernant la loi d’une transformation d’une variable al´ eatoire
continue (exercices 3.18 `
a 3.27) ainsi que d’autres aspects concernant les lois
continues (exercices 3.28 `
a 3.39) concluent ce chapitre.