2. Variables al´ eatoires discr` etes 43
2. On veut comparer l’esp´ erance et la variance de la loi hyperg´ eom´ etrique
avec celles de la loi binomiale. Pour rappel, les tirages d’une loi binomiale
sont avec remise. Soit Y une variable al´ eatoire de distribution binomiale
avec param` etres (n, p). On sait que E(Y ) = np et V (Y ) = np(1 − p).
Ainsi
E(X) = E(Y )
V (X) =
N − n
N − 1
V (Y ) ≤ V (Y ).
Si N est beaucoup plus grand que n, le rapport (N −n)/(N −1) tend vers 1
et V (X) vers V (Y ). En d’autres termes, en augmentant consid´ erablement
la quantit´ e de boules dans l’urne, un tirage ne modifie presque plus la
probabilit´ e de tirer une boule rouge et on peut faire l’approximation que
le tirage est sans remise.
2. On veut comparer l’esp´ erance et la variance de la loi hyperg´ eom´ etrique
avec celles de la loi binomiale. Pour rappel, les tirages d’une loi binomiale
sont avec remise. Soit Y une variable al´ eatoire de distribution binomiale
avec param` etres (n, p). On sait que E(Y ) = np et V (Y ) = np(1 − p).
Ainsi
E(X) = E(Y )
V (X) =
N − n
N − 1
V (Y ) ≤ V (Y ).
Si N est beaucoup plus grand que n, le rapport (N −n)/(N −1) tend vers 1
et V (X) vers V (Y ). En d’autres termes, en augmentant consid´ erablement
la quantit´ e de boules dans l’urne, un tirage ne modifie presque plus la
probabilit´ e de tirer une boule rouge et on peut faire l’approximation que
le tirage est sans remise.