42 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
o` u q = 1 − p. La derni` ere somme est une s´ erie g´ eom´ etrique de raison q
N . Par
cons´ equent
P (mˆ eme perche) =
p
q 2
∞
k=0
q
N
k −
q
N
0
=
p
q 2
1
1 − q N − 1
=
p
q 2
q
N
1 − q N .
2.19
Soit X la variable al´ eatoire « nombre d’´ epreuves n´ ecessaires pour obtenir
le premier succ` es ».
1. P (X = k) = P (k − 1 ´ echecs et un succ` es) = (1 − p)
k−1 p, k = 1, 2, 3, . . .
2. En utilisant 0 < q = 1 − p < 1, on a
E(X) =
∞
k=1
k(p − 1)
k−1 p = p
∞
k=1
kq
k−1 = p
∞
k=1
d
dq
q
k
= p
d
dq
∞
k=1
q
k
= p
d
dq
q
1 − q
= p
1
(1 − q) 2 =
1
p
.
3.
P (X > k | X > j) =
P (X > k ∩ X > j)
P (X > j)
=
P (X > k)
P (X > j)
=
(1 − p)
k
(1 − p) j = (1 − p)
k−j = P (X > k − j),
o` u l’on a utilis´ e P (X > k) = (1 − p)
k .
4. Soient Y la variable al´ eatoire « valeur de l’offre d’achat » avec fonction de
r´ epartition F et N la variable al´ eatoire « nombre d’offres d’achat re¸ cues
avant de vendre la maison ». Ainsi
P (N = n) = [P (Y < k)]
n−1 P (Y > k) = F (k)
n−1 (1 − F (k)).
2.20
On a N boules ; r sont rouges et N − r sont noires. Soit X la variable
al´ eatoire « nombre de boules rouges tir´ ees ». On proc` ede au tirage de n boules
sans remise.
1.
P (X = k) =
C
r
k · C
N −r
n−k
C N
n
=
r
k
N − r
n − k
N
n
, k = 0, 1, . . . , min(n,r).