2. Variables al´ eatoires discr` etes 41
avant l’arriv´ ee de la k
e personne ».
1. On cherche la loi de T 1 . Si aucune personne ne se pr´ esente au guichet
avant l’instant t, cela signifie que T 1 > t. Ainsi
P (T 1 > t) = P (N (t) = 0)
et
F T1 (t) = P (T 1 < t) = 1 − P (T 1 > t) = 1 − P (N (t) = 0) = 1 − e
−λt .
On en d´ eduit que T 1 suit une loi exponentielle de param` etre λ.
2. On cherche ` a pr´ esent la fonction de r´ epartition de T k . Si T k < t, cela
signifie que la k
e personne est arriv´ ee avant l’instant t, ou que N (t) ≥ k.
Donc
F T k = P (T k < t) = P (N (t) ≥ k) =
∞
j=k
P (N (t) = j) =
∞
j=k
e
−λt (λt)
j
j!
.
3. La fonction de densit´ e de T k est, par cons´ equent
f T k (t) =
∂
∂t
F T k =
∞
j=k
−λe
−λt (λt)
j
j!
+ jλe
−λt (λt)
j−1
j!
=
∞
j=k
λe
−λt (λt)
j−1
(j − 1)!
− λe
−λt (λt)
j
j!
= λe
−λt (λt)
k−1
(k − 1)!
=
λ
k
Γ(k)
t
k−1 e
−λt .
T k suit une loi Gamma de param` etre (n, k).
2.18
Soit X la variable al´ eatoire « nombre de skieurs qui se pr´ esentent entre
2 passages d’Andi ». La variable al´ eatoire X suit une loi g´ eom´ etrique de param` etre p. Andi reprend la mˆ eme perche au passage suivant si kN − 1 skieurs se
pr´ esentent entre ses 2 passages, avec k = 1, 2, . . . La probabilit´ e qu’il reprenne
la mˆ eme perche est donc
P (mˆ eme perche) =
∞
k=1
P (X = kN − 1) =
∞
k=1
q
(kN −1)−1
· p =
p
q 2
∞
k=1
q
kN
=
p
q 2
∞
k=1
q
N
k =
p
q 2
∞
k=0
q
N
k −
q
N
0
,