40 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
3. Soit N la variable al´ eatoire « num´ ero du premier mois qui voit au moins
3 blocages de mˆ achoire ». N suit une loi g´ eom´ etrique avec probabilit´ e p
(calcul´ ee en 1.). Par cons´ equent,
P (N = i) = (1 − p)
i−1
· p, avec p = 0,76, i = 1, 2, . . . , 8,
et on trouve les probabilit´ es du tableau 2.2.
i
1
2
3
4
5 . . . 8
P (N = i) 0,76 0,18 0,04 0,01
0,00
Tableau 2.2 – Tableau des probabilit´ es de l’exercice 2.15.
2.16
Soient X la variable al´ eatoire « nombre de d´ es qui montrent le chiffre mis´ e »
et G la variable al´ eatoire « gain r´ eel du joueur ». La variable al´ eatoire X suit
une loi binomiale de param` etres (3, 1/6). La variable al´ eatoire G, qui d´ epend
de X, peut prendre les valeurs -1, 1, 2 et 3, suivant qu’aucun, 1, 2 ou 3 d´ es
montrent le r´ esultat pronostiqu´ e.
1. Ainsi, l’esp´ erance du gain d’un joueur est
E(G(X)) =
3
k=0
G(X = k)P (X = k)
= −1 · C
3
0
5
6
3
+ 1 · C
3
1
1
6
5
6
2
+ 2 · C
3
2
1
6
2 5
6
+ 3 · C
3
3
1
6
3
= −
17
216
−0,079£.
2. Soit y le montant que l’on re¸ coit si les 3 d´ es montrent le chiffre pr´ evu. Si
on veut un jeu fair, il faut que
E(G(X)) =
1
216
(−1 · 5 · 5 · 5 + 1 · 3 · 5 · 5 + 2 · 3 · 5 + y · 1) = 0,
donc
y = 20£.
2.17
Soit N (t) la variable al´ eatoire « nombre d’arriv´ ees dans l’intervalle t ». Elle
suit une loi de Poisson de param` etre λt. Soit T k la variable al´ eatoire « temps