2. Variables al´ eatoires discr` etes 39
Probabilit´ e p
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
Vol de 20 canards 0,98 2,81 4,47
6
7,38
N ∼ P (15)
0,97 2,73 4,27 5,62 6,81
Tableau 2.1 – Tableau d’esp´ erances de l’exercice 2.13.
2.14
1. Soit X la variable al´ eatoire « nombre de soldats malades ». La variable
al´ eatoire X suit une loi binomiale de param` etres (500, 0,001) et la probabilit´ e que les test soit positif revient ` a calculer
P (X > 0) = 1 − P (X = 0) = 1 − 0,999
500
0,394.
Il faut noter qu’il aurait ´ et´ e possible d’approximer la distribution de X
par une loi de Poisson d’esp´ erance 0,5 pour obtenir le mˆ eme r´ esultat.
2. On cherche ` a pr´ esent la probabilit´ e qu’il y ait plus d’un malade alors que
le test est positif et on obtient
P (X > 1 | X > 0) =
P (X > 1 et X > 0)
P (X > 0)
=
P (X > 1)
P (X > 0)
=
=
1 − P (X = 0) − P (X = 1)
1 − P (X = 0)
0,394 −
500
1
· 0,001 · 0,999
499
0,394
0,230.
2.15
Soit X la variable al´ eatoire « nombre de blocages de mˆ achoire par mois ».
La variable al´ eatoire X suit une loi binomiale de param` etres (4 000, 0,001)
qu’on approxime par une loi de Poisson de param` etre 4 000 · 0,001 = 4.
1. La probabilit´ e qu’il y ait au moins 3 blocages de mˆ achoires en 1 mois est
P (X ≥ 3) = 1 −
2
k=0
P (X = k) = 1 −
2
k=0
e
−4 4
k
k!
0,76.
2. Soit Y la variable al´ eatoire « nombre de mois comptant 3 blocages de
mˆ achoire ou plus ». Cette variable suit une loi binomiale de param` etres (8,
p), p ´ etant le r´ esultat du calcul pr´ ec´ edent (p = 0,76). Ainsi
P (Y ≥ 4) = 1 − P (Y < 4) = 1 −
3
k=0
P (Y = k) =
= 1 −
3
k=0
8
k
p
k (1 − p)
8−k
0,98.