38 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
Un canard survit si les 10 chasseurs le manquent, donc
P (X i = 1) =
1 −
p
20
10
.
1. Soit Y la variable al´ eatoire « nombre de canards ´ epargn´ es ». On en cherche
l’esp´ erance
E(Y ) = E
20
i=1
X i
=
20
i=1
(1 · P (X i = 1) + 0 · P (X i = 0)) =
= 20
1 −
p
20
10
.
2. Soient N la variable al´ eatoire « nombre de canards » et Z la variable
al´ eatoire « nombre de canards touch´ es ». On cherche l’esp´ erance de Z. La
difficult´ e du calcul provient du fait que Z d´ epend de la variable al´ eatoire
N . On cherche
E(Z) =
∞
k=0
kP (Z = k).
On ne connaˆ ıt la probabilit´ e P (Z = k) que si N est fix´ e. On utilise donc
la formule des probabilit´ es totales
P (Z = k) =
∞
i=1
P (Z = k | N = i)P (N = i)
pour trouver
E(Z) =
∞
k=0
k
∞
i=1
P (Z = k | N = i)P (N = i)
=
∞
i=1
∞
k=0
kP (Z = k | N = i)
P (N = i)
=
∞
i=1
E(Z | N = i)P (N = i).
En utilisant le r´ esultat de 1., l’esp´ erance devient
E(Z) =
∞
i=1
i
1 −
1 −
p
i
10
P (N = i).
Le tableau 2.1 r´ esume les r´ esultats de l’exercice pour diff´ erentes valeurs de la
probabilit´ e p.