2. Variables al´ eatoires discr` etes 37
(b) On cherche la probabilit´ e que tous les champignons ramass´ es soient
comestibles. Les probabilit´ es que Nadine et Serge ramassent des
champignons comestibles sont ind´ ependantes. Ainsi
P (tous comestibles) =
= P (Nadine ramasse 3 comestibles ∩ Serge 4 comestibles)
= 0,3
3
· 0,9
4
0,018.
2. (a) Soit Y la variable al´ eatoire « nombre de champignons ramass´ es en
une heure ». Elle suit une loi de Poisson de param` etre 12.
P (Y = 8) =
12
8
8!
· e
−12
0,066.
(b) Soit Z la variable al´ eatoire « nombre de champignons ramass´ es en
20 minutes », qui suit une loi de Poisson de param` etre
12
3 = 4.
P (Z ≥ 1) = 1 − P (Z = 0) = 1 −
4
0
0!
· e
−4
0,98.
2.12
Appelons strat´ egie I (respectivement II) la strat´ egie qui consiste ` a utiliser
4 haut-parleurs de 4 000 W (respectivement 2 de 8 000 W). Soit V I (respectivement V II ) l’´ ev´ enement « le concert peut se terminer avec la strat´ egie I (respectivement II) ». Soit X I (respectivement X II ) la variable al´ eatoire « nombre de
haut-parleurs en panne si on se trouve dans la strat´ egie I (respectivement II) ».
Les variables al´ eatoires X I et X II suivent chacune une loi binomiale, de param` etre (4, 0,2) et (2, 0,2) respectivement. On veut choisir la strat´ egie avec la
plus grande probabilit´ e de voir le concert se terminer.
P (V I ) = P (X I ≤ 2) = 1 − P (X I = 3) − P (X I = 4) =
= 1 −
4
3
0,2
3
· 0,8 −
4
4
0,2
4
0,97
et
P (V II ) = P (X II ≤ 1) = 1 − P (X II = 2) = 1 −
2
2
0,2
2 = 0,96.
On choisit donc la strat´ egie I.
2.13
Pour i = 1, . . . , 20, soit X i une variable al´ eatoire telle que
X i =
1 si le i
e canard survit ;
0 sinon.