36 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
calcule
P (X ≤ 4) =
4
i=0
P (X = i) =
4
i=0
e
−4,7 4,7
i
i!
0,49
P (Y ≤ 8) =
8
i=0
P (Y = i) =
8
i=0
e
−9,4 9,4
i
i!
0,40,
On en conclut que c’est avec la compagnie BA Airlines qu’un passager ayant
r´ eserv´ e risque le plus de ne pas pouvoir prendre l’avion.
2.10
Soit X (respectivement Y et Z) la variable al´ eatoire « nombre de raisins
(respectivement p´ epites et morceaux [raisins + p´ epites]) dans un biscuit ».
1. La variable al´ eatoire X suit une loi binomiale de param` etres (600, 1/500)
que l’on approxime par une loi de Poisson de param` etre 1/500 · 600 = 1,2.
La probabilit´ e qu’il n’y ait pas de raisin dans le biscuit est
P (X = 0) = e
−1,2 1,2
0
0!
0,30.
2. Selon le mˆ eme raisonnement, la variable al´ eatoire Y suit une distribution
de Poisson de param` etre 1/500 · 400 = 0,8. Ainsi, la probabilit´ e qu’il y
ait exactement 2 p´ epites de chocolat est
P (Y = 2) = e
−0,8 0,8
2
2!
0,14.
3. Finalement, la variable al´ eatoire Z suit elle aussi une loi de Poisson,
de param` etre 1/500 · 1 000 = 2 et la probabilit´ e de trouver au moins
2 morceaux dans le biscuit est
P (Z ≥ 2) = 1 − P (Z < 2) = 1 − e
−2 2
0
0!
− e
−2 2
1
1!
0,59.
2.11
1. Soit X la variable al´ eatoire « nombre de champignons toxiques », qui suit
une loi binomiale de param` etres (6, 0,7).
(a) La probabilit´ e que Nadine ramasse exactement 4 champignons toxiques est
P (X = 4) = C
6
4 0,7
4
· 0,3
2
0,32.