2. Variables al´ eatoires discr` etes 35
2.7
Gianni se dit : « J’ai une chance sur 10 000 d’avoir un accident sur 1 km.
Comme j’en parcours 10 000, j’ai une probabilit´ e de 10 000 ·
1
10 000 = 1 d’avoir
un accident. »
Posons le probl` eme : appelons X la variable al´ eatoire « nombre d’accidents sur
10 000 km ». Elle suit une loi binomiale de param` etres (10 000, 0,0001) qu’on
peut approximer par une loi de Poisson de param` etre (10 000 ·
1
10 000 = 1). On
cherche la probabilit´ e d’avoir au moins un accident, soit
P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) 1 − e
−1
0,63.
Gianni n’a « que » 63 % de chance d’avoir un accident sur 10 000 km.
2.8
Soit X la variable al´ eatoire « nombre de personnes qui acceptent l’interview ». Lorsqu’il y a 5 noms sur la liste, la variable al´ eatoire X suit une loi
binomiale de param` etres (5, 2/3). Donc
P (X = 5) = C
5
5
2
3
5
0,13.
S’il y a 8 noms sur la liste, la variable al´ eatoire X suit une loi binomiale de
param` etres (8, 2/3) et la probabilit´ e de pouvoir r´ ealiser au moins 5 interviews
est
P (X ≥ 5) =
= C
8
5
2
3
5
1
3
3
+ C
8
6
2
3
6
1
3
2
+ C
8
7
2
3
7
1
3
+
2
3
8
0,74.
2.9
Soit X (respectivement Y ) la variable al´ eatoire « nombre de passagers qui
ont r´ eserv´ e une place avec la compagnie SA Airlines (respectivement BA Airlines) et n’effectuent pas le vol ». Les variables al´ eatoires X et Y suivent des lois
binomiales de param` etres (94, 0,05) et (188, 0,05). On les approxime par des
distributions de Poisson de param` etre 94 · 0,05 = 4,7 et 188 · 0,05 = 9,4 respectivement. Un passager qui a r´ eserv´ e un si` ege ne pourra pas prendre place dans
un avion SA Airlines si moins de 4 personnes ayant r´ eserv´ e n’effectuent pas le
vol (moins de 8 personnes pour la compagnie BA Airlines). Par cons´ equent, on
2.7
Gianni se dit : « J’ai une chance sur 10 000 d’avoir un accident sur 1 km.
Comme j’en parcours 10 000, j’ai une probabilit´ e de 10 000 ·
1
10 000 = 1 d’avoir
un accident. »
Posons le probl` eme : appelons X la variable al´ eatoire « nombre d’accidents sur
10 000 km ». Elle suit une loi binomiale de param` etres (10 000, 0,0001) qu’on
peut approximer par une loi de Poisson de param` etre (10 000 ·
1
10 000 = 1). On
cherche la probabilit´ e d’avoir au moins un accident, soit
P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) 1 − e
−1
0,63.
Gianni n’a « que » 63 % de chance d’avoir un accident sur 10 000 km.
2.8
Soit X la variable al´ eatoire « nombre de personnes qui acceptent l’interview ». Lorsqu’il y a 5 noms sur la liste, la variable al´ eatoire X suit une loi
binomiale de param` etres (5, 2/3). Donc
P (X = 5) = C
5
5
2
3
5
0,13.
S’il y a 8 noms sur la liste, la variable al´ eatoire X suit une loi binomiale de
param` etres (8, 2/3) et la probabilit´ e de pouvoir r´ ealiser au moins 5 interviews
est
P (X ≥ 5) =
= C
8
5
2
3
5
1
3
3
+ C
8
6
2
3
6
1
3
2
+ C
8
7
2
3
7
1
3
+
2
3
8
0,74.
2.9
Soit X (respectivement Y ) la variable al´ eatoire « nombre de passagers qui
ont r´ eserv´ e une place avec la compagnie SA Airlines (respectivement BA Airlines) et n’effectuent pas le vol ». Les variables al´ eatoires X et Y suivent des lois
binomiales de param` etres (94, 0,05) et (188, 0,05). On les approxime par des
distributions de Poisson de param` etre 94 · 0,05 = 4,7 et 188 · 0,05 = 9,4 respectivement. Un passager qui a r´ eserv´ e un si` ege ne pourra pas prendre place dans
un avion SA Airlines si moins de 4 personnes ayant r´ eserv´ e n’effectuent pas le
vol (moins de 8 personnes pour la compagnie BA Airlines). Par cons´ equent, on