34 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
quences mesur´ ees.
X = k
1
2
3
4
5
P (X = k)
0,18 0,44 0,27 0,09 0,02
F (x) = P (X < k)
0
0,18 0,62 0,89 0,98
2.
P (2 < X ≤ 4) = P (X < 5) − P (X < 3) = 0,98 − 0,62 = 0,38.
P (X > 4) = P (X = 5) = 0,02.
3.
E(X) =
5
k=1
k · P (X = k) = 2,33.
V (X) = E(X
2 ) − E
2 (X) =
5
k=1
k
2
· P (X = k) − 2,33
2
0,88.
2.5
Soit X la variable al´ eatoire « nombre de chiffres transmis de fa¸ con incorrecte », qui suit une loi binomiale de param` etres (5, 0,2). La probabilit´ e d’avoir
une erreur est ´ egale `
a la probabilit´ e de recevoir au moins 3 chiffres incorrects.
Ainsi
P (erreur) = P (X ≥ 3) = C
5
3 0,2
3
· 0,8
2 + C
5
4 0,2
4
· 0,8 + C
5
5 0,2
5
0,058.
2.6
Soit X la variable al´ eatoire « nombre de pommes avari´ ees dans un emballage ».
1. La variable al´ eatoire X suit une loi binomiale de param` etres (5, 0,25).
2. Un client se plaint s’il trouve au moins 2 pommes avari´ ees, donc
P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2) = 1 − C
5
0 0,75
5
− C
5
1 0,25 · 0,75
4 =
47
128
0,37.
3. Soit Y la variable al´ eatoire « nombre de clients non satisfaits ». Elle suit
une loi binomiale de param` etres (100, 47/128). On en cherche l’esp´ erance :
E(Y ) = 100 ·
47
128
36,7.
Sur les 100 clients, environ 37 viendront se plaindre en moyenne.