2. Variables al´ eatoires discr` etes 33
2. La probabilit´ e P (X ≤ 3) correspond `
a la probabilit´ e que l’ours reste
vivant. Elle vaut
P (X ≤ 3) =
3
i=1
P (X = i) = p(3 − 3p + p
2 ).
3. On pose E(X) = 1/p. Pour rester vivant, il faut que le nombre de tirs
disponibles soit plus grand ou ´ egal `
a la moyenne du nombre de tirs n´ ecessaires pour le tuer
E(X) ≤ 3 ⇔ p ≥
1
3
⇔ p min =
1
3
.
4. Le stress diminue la probabilit´ e de tuer l’ours : P (tuer l’ours au i
e coup) =
p
i . Ainsi
˜
P (X = 1) = p = P (X = 1)
˜
P (X = 2) = (1 − p)p
2 < P (X = 2)
˜
P (X = 3) = (1 − p)(1 − p
2 )p
3 < P (X = 3).
2.3
Soit X la variable al´ eatoire « nombre d’essais pour ouvrir la porte ».
1.
P (X = 1) =
1
4
P (X = 2) =
3
4
·
1
3
=
1
4
P (X = 3) =
3
4
·
2
3
·
1
2
=
1
4
P (X = 4) =
3
4
·
2
3
·
1
2
· 1 =
1
4
.
2. On calcule l’esp´ erance et la variance de X
E(X) = 1 ·
1
4
+ 2 ·
1
4
+ 3 ·
1
4
+ 4 ·
1
4
=
5
2
V (X) = E(X
2 ) − E
2 (X) = 1 ·
1
4
+ 4 ·
1
4
+ 9 ·
1
4
+ 16 ·
1
4
−
25
4
=
5
4
.
2.4
Soit X la variable al´ eatoire « classe d’appartenance ».
1. Pour calculer les probabilit´ es P (X = k), k = 1, . . . , 5, on prend les fr´ e-