32 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
Corrig´ es
2.1
Soit U 1 la variable al´ eatoire « utilit´ e dans la strat´ egie sans le test WB » et
U 2 la variable al´ eatoire « utilit´ e dans la strat´ egie avec le test WB ».
1. On compl` ete le tableau donn´ e dans l’´ enonc´ e. La somme de toutes les
probabilit´ es est ´ egale `
a 1 ce qui implique que la probabilit´ e manquante est
P (+,−,−) = 0,00046. De plus, on trouve les utilit´ es U 2 (−,+,−) = −c 1 −c 2
et U 2 (−, − ,−) = −c 1 .
2. On calcule l’esp´ erance de U 2
E(U 2 ) =
i,j,k=±
P (i, j, k) · U 2 (i, j, k) =
= −c 1 − 0,0293c 2 − 0,00055L I − 0,0001L II = −573,03.
3. On construit le tableau de probabilit´ es et on calcule l’esp´ erance pour U 1 .
Prob. Vrai statut HIV Statut ELISA
Utilit´ e
0,0095
+
+
−c 1
0,0005
+
−
−c 1 − L I
0,0198
−
+
−c 1 − L II
0,9702
−
−
−c 1
Par exemple, on a calcul´ e
P (+,+) = P (+, + ,+) + P (+, + ,−) = 0,00945 + 0,00005 = 0,0095,
et l’esp´ erance est
E(U 1 ) = −c 1 − 0,0005L I − 0,0198L II = −539,8.
4. On choisit la strat´ egie qui a la plus grande esp´ erance, c’est-` a-dire la 1
re .
Cette conclusion ne tient ´ evidemment compte que de l’utilit´ e. D’un point
de vue m´ edical, il est ´ evident que la 2
e strat´ egie est la meilleure puisqu’elle donne des diagnostics beaucoup plus sˆ urs. On pourrait imaginer
d’augmenter L I et L II pour p´ enaliser les mauvais diagnostics.
2.2
Soient X le « nombre de tirs n´ ecessaires pour tuer l’ours » et la probabilit´ e
P (tuer l’ours) = p.
1.
P (X = 1) = P (tuer l’ours) = p
P (X = 2) = P (rater l’ours, et le tuer) = (1 − p)p
P (X = 3) = P (rater l’ours 2 fois, et le tuer) = (1 − p)
2 p.