2. Variables al´ eatoires discr` etes 31
2.19 (Loi g´ eom´ etrique ou loi de Pascal)
On consid` ere une s´ erie d’´ epreuves ind´ ependantes. `
A chaque ´ epreuve, on
observe un « succ` es » avec probabilit´ e p et un « ´ echec » avec probabilit´ e 1 − p.
Soit X la variable al´ eatoire discr` ete suivante :
X = nombre d’´ epreuves n´ ecessaires pour obtenir le 1
er
« succ` es ».
1. Calculer la loi de probabilit´ e de X, c’est-` a-dire P (X = k), k ∈ N. Cette
loi est dite loi g´ eom´ etrique.
2. V´ erifier que E(X) = 1/p.
3. V´ erifier la propri´ et´ e « sans m´ emoire » de la loi g´ eom´ etrique
P (X > k | X > j) = P (X > k − j), k > j.
4. J’ai d´ ecid´ e de vendre ma maison et d’accepter la 1
re offre d’achat sup´ erieure `
a K e. On suppose que les offres d’achat sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes avec fonction de r´ epartition F . Soit N la variable
al´ eatoire discr` ete suivante :
N = nombre d’offres d’achat re¸ cues avant de vendre la maison.
Donner la loi de probabilit´ e de N , c’est-` a-dire P (N = n), n ∈ N.
2.20 (Loi hyperg´ eom´ etrique)
On consid` ere une urne avec N boules dont r sont rouges et N −r sont noires.
On tire n boules au hasard sans remise. Soit X la variable al´ eatoire discr` ete
suivante
X = « nombre de boules rouges parmi les n boules tir´ ees ».
1. Calculer la loi de probabilit´ e de X, c’est-` a-dire P (X = k) pour k =
0, . . . , min(n, r).
2. Cette loi est dite loi hyperg´ eom´ etrique. Son esp´ erance est E(X) = np et sa
variance est var(X) = np(1 − p)
N −n
N −1 , o` u p =
r
N . Comparer intuitivement
avec la loi binomiale.