30 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
ou ´ egal `
a 4?
Indication : supposer qu’une ann´ ee acad´ emique est constitu´ ee de 8 mois.
3. Le premier mois de l’ann´ ee acad´ emique ´ etant appel´ e mois 1, quelle est la
probabilit´ e que le premier mois o` u l’on enregistre 3 blocages de mˆ achoire
ou plus soit le mois i, i = 1, 2, ..., 8?
2.16
Un jeux de d´ es tr` es populaires dans les bars anglais est le chuck-a-luck. Il
consiste pour la banque ` a jeter 3 d´ es. Un joueur peut parier sur n’importe quel
r´ esultat compris entre 1 et 6. Si exactement un de ces 3 d´ es montre le chiffre
pr´ evu, le joueur r´ ecup` ere sa mise plus un montant ´ equivalent. Si 2 d´ es montrent
ce r´ esultat, le gain net est de 2 pour 1 ; si les 3 d´ es indiquent le chiffre pr´ evu, le
gain net est de 3 pour 1. Si aucun d´ e ne montre le chiffre choisi par le joueur,
ce dernier perd sa mise.
1. Calculer l’esp´ erance de gain lorsque l’enjeu est d’une livre.
2. Quel montant devrait recevoir le joueur si les 3 d´ es montrent le chiffre
pr´ evu pour que le jeu soit fair (c’est-` a-dire pour que l’esp´ erance de gain
soit nulle)?
2.17
On observe l’arriv´ ee de personnes ` a un guichet, 2 personnes ne pouvant
arriver en mˆ eme temps. Le nombre d’arriv´ ees dans un intervalle de temps de
longueur t est une variable al´ eatoire N (t) distribu´ ee selon une loi de Poisson de
param` etre λt. Les arriv´ ees se produisent ind´ ependamment les unes des autres.
On choisit un temps t 0 = 0. Soit T k la variable al´ eatoire qui repr´ esente l’arriv´ ee
du k
e client `
a partir de t 0 .
1. Quelle est la loi de T 1 ?
Indication : la probabilit´ e que T 1 soit sup´ erieur ` a t est ´ egale `
a la probabilit´ e
que personne n’arrive dans l’intervalle [0, t].
2. Calculer la fonction de r´ epartition de T k .
3. Calculer la densit´ e de T k . De quelle loi s’agit-il?
2.18
Andi va skier et emprunte une des N perches d’un remonte-pente. Entre cet
instant et la prochaine remont´ ee, le nombre de skieurs qui se pr´ esentent suit
une loi g´ eom´ etrique de param` etre p.
Quelle est la probabilit´ e pour Andi de reprendre la mˆ eme perche?
ou ´ egal `
a 4?
Indication : supposer qu’une ann´ ee acad´ emique est constitu´ ee de 8 mois.
3. Le premier mois de l’ann´ ee acad´ emique ´ etant appel´ e mois 1, quelle est la
probabilit´ e que le premier mois o` u l’on enregistre 3 blocages de mˆ achoire
ou plus soit le mois i, i = 1, 2, ..., 8?
2.16
Un jeux de d´ es tr` es populaires dans les bars anglais est le chuck-a-luck. Il
consiste pour la banque ` a jeter 3 d´ es. Un joueur peut parier sur n’importe quel
r´ esultat compris entre 1 et 6. Si exactement un de ces 3 d´ es montre le chiffre
pr´ evu, le joueur r´ ecup` ere sa mise plus un montant ´ equivalent. Si 2 d´ es montrent
ce r´ esultat, le gain net est de 2 pour 1 ; si les 3 d´ es indiquent le chiffre pr´ evu, le
gain net est de 3 pour 1. Si aucun d´ e ne montre le chiffre choisi par le joueur,
ce dernier perd sa mise.
1. Calculer l’esp´ erance de gain lorsque l’enjeu est d’une livre.
2. Quel montant devrait recevoir le joueur si les 3 d´ es montrent le chiffre
pr´ evu pour que le jeu soit fair (c’est-` a-dire pour que l’esp´ erance de gain
soit nulle)?
2.17
On observe l’arriv´ ee de personnes ` a un guichet, 2 personnes ne pouvant
arriver en mˆ eme temps. Le nombre d’arriv´ ees dans un intervalle de temps de
longueur t est une variable al´ eatoire N (t) distribu´ ee selon une loi de Poisson de
param` etre λt. Les arriv´ ees se produisent ind´ ependamment les unes des autres.
On choisit un temps t 0 = 0. Soit T k la variable al´ eatoire qui repr´ esente l’arriv´ ee
du k
e client `
a partir de t 0 .
1. Quelle est la loi de T 1 ?
Indication : la probabilit´ e que T 1 soit sup´ erieur ` a t est ´ egale `
a la probabilit´ e
que personne n’arrive dans l’intervalle [0, t].
2. Calculer la fonction de r´ epartition de T k .
3. Calculer la densit´ e de T k . De quelle loi s’agit-il?
2.18
Andi va skier et emprunte une des N perches d’un remonte-pente. Entre cet
instant et la prochaine remont´ ee, le nombre de skieurs qui se pr´ esentent suit
une loi g´ eom´ etrique de param` etre p.
Quelle est la probabilit´ e pour Andi de reprendre la mˆ eme perche?