2. Variables al´ eatoires discr` etes 27
Loi binomiale et loi de Poisson
2.5
Un canal de transmission d’information ne peut traiter que des 0 et des 1. `
A
cause de perturbations dues `
a l’´ electricit´ e statique chaque chiffre transmis l’est
avec une probabilit´ e d’erreur de 0,2. Admettons que l’on veuille transmettre
un message important limit´ e ` a un signal binaire. Pour ´ eviter une erreur on
transmettra 00000 au lieu de 0 et 11111 au lieu de 1. Si le r´ ecepteur d´ ecode
suivant la r` egle de la majorit´ e, quelle est la probabilit´ e que le message soit mal
interpr´ et´ e?
2.6
Un ´ epicier re¸ coit un lot de pommes dont 25 % sont avari´ es. Il charge un
employ´ e de pr´ eparer des emballages de 5 pommes chacun. Celui-ci, n´ egligent, ne
se donne pas la peine de jeter les fruits avari´ es. Chaque client qui trouve, dans
l’emballage qu’il ach` ete, 2 fruits ou plus qui sont avari´ es, revient au magasin se
plaindre.
1. Soit X le « nombre de pommes avari´ ees dans un emballage ». D´ eterminer
la loi de probabilit´ e de X.
2. Quelle est la probabilit´ e pour qu’un client donn´ e se plaigne aupr` es de son
´ epicier?
3. Si l’´ epicier a 100 clients qui ach` etent des pommes ce jour-l` a, combien y
aura-t-il de plaintes?
2.7
Giovanni, dit Gianni, a d´ ecid´ e de parcourir cet ´ et´ e 10 000 km en Fiat Ritmo.
Or la probabilit´ e d’avoir un accident sur 1 km est de 1/10 000. En prenant
connaissance de cette probabilit´ e, Gianni d´ ecide alors d’annuler son long voyage
en pr´ etextant d’ˆ etre sˆ ur d’avoir un accident. ˆ
Etes-vous d’accord avec Gianni?
Si ce n’est pas le cas, quelle est l’erreur commise par notre ami Gianni? Quelle
est alors approximativement la probabilit´ e que Gianni ait un accident?
2.8
Un journaliste se voit remettre une liste de personnes ` a interviewer. Il doit
interroger 5 personnes au moins. Les interview´ es potentiels n’acceptent de parler qu’avec une probabilit´ e de 2/3, ind´ ependamment les uns des autres. Quelle
est la probabilit´ e qu’il puisse r´ ealiser ses 5 entretiens si la liste compte 5 noms?
Et si elle en compte 8?
Loi binomiale et loi de Poisson
2.5
Un canal de transmission d’information ne peut traiter que des 0 et des 1. `
A
cause de perturbations dues `
a l’´ electricit´ e statique chaque chiffre transmis l’est
avec une probabilit´ e d’erreur de 0,2. Admettons que l’on veuille transmettre
un message important limit´ e ` a un signal binaire. Pour ´ eviter une erreur on
transmettra 00000 au lieu de 0 et 11111 au lieu de 1. Si le r´ ecepteur d´ ecode
suivant la r` egle de la majorit´ e, quelle est la probabilit´ e que le message soit mal
interpr´ et´ e?
2.6
Un ´ epicier re¸ coit un lot de pommes dont 25 % sont avari´ es. Il charge un
employ´ e de pr´ eparer des emballages de 5 pommes chacun. Celui-ci, n´ egligent, ne
se donne pas la peine de jeter les fruits avari´ es. Chaque client qui trouve, dans
l’emballage qu’il ach` ete, 2 fruits ou plus qui sont avari´ es, revient au magasin se
plaindre.
1. Soit X le « nombre de pommes avari´ ees dans un emballage ». D´ eterminer
la loi de probabilit´ e de X.
2. Quelle est la probabilit´ e pour qu’un client donn´ e se plaigne aupr` es de son
´ epicier?
3. Si l’´ epicier a 100 clients qui ach` etent des pommes ce jour-l` a, combien y
aura-t-il de plaintes?
2.7
Giovanni, dit Gianni, a d´ ecid´ e de parcourir cet ´ et´ e 10 000 km en Fiat Ritmo.
Or la probabilit´ e d’avoir un accident sur 1 km est de 1/10 000. En prenant
connaissance de cette probabilit´ e, Gianni d´ ecide alors d’annuler son long voyage
en pr´ etextant d’ˆ etre sˆ ur d’avoir un accident. ˆ
Etes-vous d’accord avec Gianni?
Si ce n’est pas le cas, quelle est l’erreur commise par notre ami Gianni? Quelle
est alors approximativement la probabilit´ e que Gianni ait un accident?
2.8
Un journaliste se voit remettre une liste de personnes ` a interviewer. Il doit
interroger 5 personnes au moins. Les interview´ es potentiels n’acceptent de parler qu’avec une probabilit´ e de 2/3, ind´ ependamment les uns des autres. Quelle
est la probabilit´ e qu’il puisse r´ ealiser ses 5 entretiens si la liste compte 5 noms?
Et si elle en compte 8?