26 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
2.2
Vous vous promenez en forˆ et et vous tombez nez-` a-nez avec un ours affam´ e. Heureusement, vous ne sortez jamais sans votre fusil, mais vous n’avez
cependant que 3 cartouches en poche. Sachant qu’` a chaque tir, vous avez une
probabilit´ e p d’atteindre votre objectif, c’est-` a-dire de tuer l’ours, et en notant
X la variable al´ eatoire repr´ esentant le nombre de tirs strictement n´ ecessaires
pour tuer l’ours, r´ epondez aux questions suivantes.
1. Calculez P (X = 1), P (X = 2), et P (X = 3) en fonction de p.
2. Donnez ´ egalement P (X ≤ 3). Que repr´ esente cette probabilit´ e?
3. Sachant que E(X) = 1/p, quelle est la valeur minimale de p pour esp´ erer
sortir vivant de ce mauvais pas?
4. En r´ ealit´ e, l’angoisse et le stress diminuent vos aptitudes au tir si bien que
la probabilit´ e d’atteindre l’ours au i
e essai est donn´ ee par p
i . Donnez dans
ce cas P (X = 1), P (X = 2) et P (X = 3) et comparez ces probabilit´ es
avec celles obtenues au point 1.
2.3
Une personne poss` ede 4 clefs parmi lesquelles une seule ouvre la porte. Elle
les essaie au hasard en ´ eliminant celles qui ne marchent pas. On pose X « le
nombre d’essais pour ouvrir la porte ».
1. Calculer la loi de probabilit´ e de X, c’est-` a-dire P (X = k) avec k =
1, 2, 3, 4.
2. Calculer E(X) et Var(X).
2.4
Le fisc r´ epartit les m´ enages en 5 classes de revenu. Les donn´ ees de l’ann´ ee
fiscale 2005 lui apportent :
Classe 1 : 19 000 m´ enages.
Classe 2 : 45 000 m´ enages.
Classe 3 : 28 000 m´ enages.
Classe 4 : 9 000 m´ enages.
Classe 5 : 2 000 m´ enages.
Notons X la variable al´ eatoire « classe d’appartenance ».
1. Trouver la fonction de r´ epartition de X.
2. Calculer P (2 < X ≤ 4) et P (X > 4).
3. Calculer E(X) et Var(X).
2.2
Vous vous promenez en forˆ et et vous tombez nez-` a-nez avec un ours affam´ e. Heureusement, vous ne sortez jamais sans votre fusil, mais vous n’avez
cependant que 3 cartouches en poche. Sachant qu’` a chaque tir, vous avez une
probabilit´ e p d’atteindre votre objectif, c’est-` a-dire de tuer l’ours, et en notant
X la variable al´ eatoire repr´ esentant le nombre de tirs strictement n´ ecessaires
pour tuer l’ours, r´ epondez aux questions suivantes.
1. Calculez P (X = 1), P (X = 2), et P (X = 3) en fonction de p.
2. Donnez ´ egalement P (X ≤ 3). Que repr´ esente cette probabilit´ e?
3. Sachant que E(X) = 1/p, quelle est la valeur minimale de p pour esp´ erer
sortir vivant de ce mauvais pas?
4. En r´ ealit´ e, l’angoisse et le stress diminuent vos aptitudes au tir si bien que
la probabilit´ e d’atteindre l’ours au i
e essai est donn´ ee par p
i . Donnez dans
ce cas P (X = 1), P (X = 2) et P (X = 3) et comparez ces probabilit´ es
avec celles obtenues au point 1.
2.3
Une personne poss` ede 4 clefs parmi lesquelles une seule ouvre la porte. Elle
les essaie au hasard en ´ eliminant celles qui ne marchent pas. On pose X « le
nombre d’essais pour ouvrir la porte ».
1. Calculer la loi de probabilit´ e de X, c’est-` a-dire P (X = k) avec k =
1, 2, 3, 4.
2. Calculer E(X) et Var(X).
2.4
Le fisc r´ epartit les m´ enages en 5 classes de revenu. Les donn´ ees de l’ann´ ee
fiscale 2005 lui apportent :
Classe 1 : 19 000 m´ enages.
Classe 2 : 45 000 m´ enages.
Classe 3 : 28 000 m´ enages.
Classe 4 : 9 000 m´ enages.
Classe 5 : 2 000 m´ enages.
Notons X la variable al´ eatoire « classe d’appartenance ».
1. Trouver la fonction de r´ epartition de X.
2. Calculer P (2 < X ≤ 4) et P (X > 4).
3. Calculer E(X) et Var(X).