2. Variables al´ eatoires discr` etes 25
Exercices
Moments et probabilit´ es
2.1 (Suite de l’exercice 1.19)
On note :
c 1 = coˆ ut du test ELISA = 20 e ;
c 2 = coˆ ut du test WB = 100 e ;
L I = coˆ ut suppl´ ementaire engendr´ e par le faux diagnostic : conclure que le patient est HIV-n´ egatif alors qu’il est HIV-positif = 1 000 000 e ;
L II = coˆ ut suppl´ ementaire engendr´ e par le faux diagnostic : conclure que le
patient est HIV-positif alors qu’il est HIV-n´ egatif = 1 000 e.
La 1
re strat´ egie est la suivante : on fait le test de l’ELISA. S’il est n´ egatif,
on consid` ere que le patient est HIV-n´ egatif. Sinon qu’il est HIV-positif.
Une 2
e strat´ egie est comme la 1
re , sauf que si l’ELISA est positif, on fait en
plus le WB. Si ce dernier est positif, on consid` ere que le patient est HIV-positif,
sinon qu’il est HIV-n´ egatif.
On formalise la 2
e strat´ egie ainsi
– les issues possibles sont compos´ ees de triplets (statut HIV, statut ELISA,
statut WB). Par exemple, on consid` ere (+, + ,+) ;
– une probabilit´ e associ´ ee ` a chaque issue. Pour (+, + ,+) c’est 0,00945 ;
– `
a chaque issue est associ´ ee une valeur, d´ efinissant ainsi une variable al´ eatoire U , appel´ ee utilit´ e. Pour (+, + ,+), c’est −c 1 − c 2 = −120 e. Pour
(+, − ,−), c’est −c 1 − L I = −1 000 020 e.
1. Compl´ eter le tableau suivant r´ esumant la 2
e strat´ egie.
Prob.
Vrai statut HIV Statut ELISA Statut WB
Utilit´ e
0,00945
+
+
+
−c 1 − c 2
0,00005
+
+
-
−c 1 − c 2 − L I
0,00004
+
-
(+)
−c 1 − L I
+
-
(-)
−c 1 − L I
0,0001
-
+
+
−c 1 − c 2 − L II
0,0197
-
+
-
0,00095
-
-
(+)
−c 1
0,96925
-
-
(-)
2. Calculer l’esp´ erance de l’utilit´ e.
3. Pour la 1
re strat´ egie, faire de mˆ eme (tableau et esp´ erance de l’utilit´ e).
4. Quelle strat´ egie faut-il adopter? (Discuter en fonction de L I et L II .)