24 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
La loi de Poisson
La loi de Poisson peut ˆ etre vue comme un cas limite de la loi binomiale
quand n → ∞, p → 0, et np = λ = const. Ceci mod´ elise la situation avec
un grand nombre d’´ epreuves (individus, objets . . .) et une petite probabilit´ e p
d’obtenir un « succ` es » ` a chaque ´ epreuve. La loi de Poisson est utilis´ ee pour
mod´ eliser par exemple le nombre de clients qui arrivent ` a un guichet, le nombre
de pannes d’une machine, ou le nombres d’accidents de la circulation pendant
une certaine p´ eriode. La loi de probabilit´ e de Poisson d’une variable al´ eatoire X,
X ∼ P (λ), λ > 0, s’´ ecrit
P (X = k) = e
−λ λ
k
k!
,
k = 0, 1, 2, . . .
On a E(X) = var(X) = λ.
Notes historiques
Le cas sp´ ecial n = 1 de la loi binomiale est appel´ e la loi de Bernoulli (du nom
du math´ ematicien suisse Jacques Bernoulli). La loi de Poisson fut introduite
en 1837 par Sim´ eon Denis Poisson et utilis´ ee ensuite en 1898 par Bortkewitz
pour mod´ eliser « le nombre de soldats tu´ es par ruades de cheval dans l’arm´ ee
prussienne pendant 20 ans ».
R´ ef´ erences (th´ eorie)
Ross, chapitres 4 et 7 [1] et Pitman, chapitres 2 et 3 [2].