Chapitre 2
Variables al´ eatoires
discr` etes
Introduction
La notion de variable al´ eatoire est fondamentale dans le calcul des probabilit´ es. La premi` ere partie de ce chapitre pr´ esente des exercices sur les outils
g´ en´ eraux de travail avec des variables al´ eatoires discr` etes. Ceux-ci incluent la
loi de probabilit´ e, la fonction de r´ epartition, l’esp´ erance et la variance (exercices 2.1 `
a 2.4). Ensuite on a recueilli les exercices concernant quelques lois
discr` etes de probabilit´ e. On traite en particulier les deux lois discr` etes les plus
importantes, `
a savoir la loi binomiale et la loi de Poisson (exercices 2.5 `
a 2.18).
La loi binomiale
La structure qui g´ en` ere la loi binomiale peut ˆ etre r´ esum´ ee de la fa¸ con suivante. Consid´ erons une exp´ erience al´ eatoire constitu´ ee de n ´ epreuves ind´ ependantes. `
A chaque ´ epreuve deux issues sont possibles, « succ` es » avec probabilit´ e p et « ´ echec » avec probabilit´ e 1 − p. La variable al´ eatoire X qui compte
le nombre de « succ` es » dans la s´ erie de n ´ epreuves suit une loi binomiale avec
param` etres n et p, X ∼ Bin(n, p), c’est-` a-dire
P (X = k) =
n
k
p
k (1 − p)
n−k ,
k = 1, . . . ,n.
On a E(X) = np et var(X) = np(1 − p).
Cette structure est importante car elle se retrouve dans de nombreuses
situations diff´ erentes, comme par exemple le contrˆ ole de qualit´ e, la mod´ elisation
en temps discret du prix d’un actif financier et les pr´ evisions dans le cadre d’un
sondage avant une votation.
Variables al´ eatoires
discr` etes
Introduction
La notion de variable al´ eatoire est fondamentale dans le calcul des probabilit´ es. La premi` ere partie de ce chapitre pr´ esente des exercices sur les outils
g´ en´ eraux de travail avec des variables al´ eatoires discr` etes. Ceux-ci incluent la
loi de probabilit´ e, la fonction de r´ epartition, l’esp´ erance et la variance (exercices 2.1 `
a 2.4). Ensuite on a recueilli les exercices concernant quelques lois
discr` etes de probabilit´ e. On traite en particulier les deux lois discr` etes les plus
importantes, `
a savoir la loi binomiale et la loi de Poisson (exercices 2.5 `
a 2.18).
La loi binomiale
La structure qui g´ en` ere la loi binomiale peut ˆ etre r´ esum´ ee de la fa¸ con suivante. Consid´ erons une exp´ erience al´ eatoire constitu´ ee de n ´ epreuves ind´ ependantes. `
A chaque ´ epreuve deux issues sont possibles, « succ` es » avec probabilit´ e p et « ´ echec » avec probabilit´ e 1 − p. La variable al´ eatoire X qui compte
le nombre de « succ` es » dans la s´ erie de n ´ epreuves suit une loi binomiale avec
param` etres n et p, X ∼ Bin(n, p), c’est-` a-dire
P (X = k) =
n
k
p
k (1 − p)
n−k ,
k = 1, . . . ,n.
On a E(X) = np et var(X) = np(1 − p).
Cette structure est importante car elle se retrouve dans de nombreuses
situations diff´ erentes, comme par exemple le contrˆ ole de qualit´ e, la mod´ elisation
en temps discret du prix d’un actif financier et les pr´ evisions dans le cadre d’un
sondage avant une votation.