1. Probabilit´ es ´ el´ ementaires 21
Il faut faire attention de ne pas utiliser l’ind´ ependance dans cette ´ equation
directement. Il y a seulement ind´ ependance entre les d´ ecisions des juges
conditionn´ ees ` a la culpabilit´ e (ou non culpabilit´ e) de l’accus´ e. Ainsi, il est
n´ ecessaire de faire apparaˆ ıtre des probabilit´ es conditionnelles pour utiliser
l’hypoth` ese d’ind´ ependance :
P (JC 3 | JC 1 ∩ JC 2 ) =
=
P (JC 3 ∩ JC 1 ∩ JC 2 | C)P (C) + P (JC 3 ∩ JC 1 ∩ JC 2 | C)P (C)
P (JC 1 ∩ JC 2 | C)P (C) + P (JC 1 ∩ JC 2 | C)P (C)
=
P (JC 3 | C) · P (JC 1 | C) · P (JC 2 | C) · P (C)
P (JC 1 | C) · P (JC 2 | C) · P (C) + ·P (JC 1 | C) · P (JC 2 | C) · P (C)
+
P (JC 3 | C) · P (JC 1 | C) · P (JC 2 | C) · P (C)
P (JC 1 | C) · P (JC 2 | C) · P (C) + ·P (JC 1 | C) · P (JC 2 | C) · P (C)
=
0,7
3
· 0,7 + 0,2
3
· 0,3
0,7 2 · 0,7 + 0,2 2 · 0,3
=
97
142
0,68.
2. Le raisonnement pour les 2 derni` eres questions est le mˆ eme qu’en 1.
P (JC 3 | JC 1 ∩ JC 2 ) =
=
P (JC 3 ∩ JC 1 ∩ JC 2 )
P (JC 1 ∩ JC 2 )
=
0,7
2
· 0,3 · 0,7 + 0,2
2
· 0,8 · 0,3
0,7 · 0,3 · 0,7 + 0,2 · 0,8 · 0,3
0,58
3.
P (JC 3 | JC 1 ∩ JC 2 ) =
=
P (JC 3 ∩ JC 1 ∩ JC 2 )
P (JC 1 ∩ JC 2 )
=
0,7 · 0,3
2
· 0,7 + 0,2 · 0,8
2
· 0,3
0,3 2 · 0,7 + 0,8 2 · 0,3
0,32.
1.24
Soient les ´ ev´ enements R « la sauce est rat´ ee » et CR (respectivement BD
et BG) « la bouteille est du Cˆ otes-du-Rhˆ one (respectivement du Bordeaux et
du Bourgogne) ». On commence par calculer la probabilit´ e que le vin soit du
Bordeaux en sachant que la sauce est rat´ ee :
P (BD | R) =
P (R | BD)P (BD)
P (R | BD)P (BD) + P (R | BG)P (BG) + P (R | CR)P (CR)
=
0,1 · 0,4
0,1 · 0,4 + 0,1 · 0,3 + 0,2 · 0,3
=
4
13
0,31.
On proc` ede de la mˆ eme mani` ere pour les 2 autres vins et on trouve
P (BG | R) =
3
13
0,23 et P (CR | R) =
6
13
0,46.
Ainsi, en sachant que la sauce a rat´ e, la bouteille a environ 31 % de chance
d’ˆ etre du Bordeaux, 23 % d’ˆ etre du Bourgogne et 46 % d’ˆ etre du Cˆ otes-duRhˆ one.