20 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
et ` a mesure des ´ ev´ enements.
1. La probabilit´ e de tirer 2 bonbons ayant le mˆ eme parfum est alors
P (2 parfums identiques) =
=
1
4
5
8
4
7
+
5
8
2
3
+
3
8
2
7
+
3
8
1
3
+
2
3
5
8
+
2
3
3
5
+
1
3
3
8
+
1
3
1
5
0,50.
2. Il reste 7 bonbons `
a l’orange et 5 `
a la fraise. Cela signifie que David a
tir´ e 2 bonbons `
a l’orange. Pour trouver la s´ equence la plus probable, on
calcule la probabilit´ e pour chacune des quatre s´ equences possibles
P (P P | OO) =
P (OO | P P )P (P P )
P (OO)
5/8 · 4/7 · 1/4
0,40
0,23
P (P P | OO)
2/3 · 5/8 · 1/4
0,40
0,26
P (P P | OO)
2/3 · 5/8 · 1/4
0,40
0,26
P (P P | OO)
2/3 · 3/5 · 1/4
0,40
0,25
avec
P (OO) =
1
4
5
8
4
7
+
5
8
2
3
+
2
3
3
5
+
2
3
5
8
0,40.
Les 2 s´ equences les plus probables sont P P et P P (elles sont ´ equivalentes).
3. Soit X le nombre de bonbons `
a la fraise que David doit acheter. On veut
que P (O) = 1/2
P (O) = P (O | P )P (P ) + P (O | P )P (P ) = 1 ·
1
2
+
2
2 + X
·
1
2
=
1
2
⇒
2
2 + X
= 0 ⇒ X → ∞.
Il faudrait que David ach` ete une infinit´ e de bonbons pour ´ equilibrer les
chances de tirer un bonbon `
a l’orange ou `
a la fraise.
1.23
Soient les ´ ev´ enements JC i « le juge i vote coupable » (i = 1 , 2 , 3) et C
« l’accus´ e est effectivement coupable ».
1. On cherche d’abord la probabilit´ e que le 3
e juge vote coupable en sachant
que les 2 premiers votent coupable
P (JC 3 | JC 1 ∩ JC 2 ) =
P (JC 3 ∩ JC 1 ∩ JC 2 )
P (JC 1 ∩ JC 2 )
.