8. Inf´ erence 247
et la borne de Cram´ er-Rao pour un estimateur sans biais de α
BCR =
α
2
n
.
Comparons-la `
a la variance de ˆ
α M
var(ˆ α M ) − BCR =
α
2
n
−
α
n(α + 2)
=
α
3 + 1
n(α + 2)
.
Ce r´ esultat est toujours positif car α est positif. Ainsi, l’estimateur n’atteint pas la borne ; il n’est pas efficient.
6. Par le th´ eor` eme central limite
√
n(ˆ α M − α)
var(ˆ α M )
∼ N (0,1).
On peut donc construire un intervalle de confiance approxim´ e au degr´ e
95 % pour α :
P
−z 0,975 <
√
n(ˆ α M − α)
var(ˆ α M )
< z 0,975
= 0,95
⇔ IC =
ˆ
α M ± z 0,975
var(ˆ α M )
n
.
8.54
1. Le statistique ¯
X donne le test le plus puissant lorsque X i ∼ N (µ, σ
2 ) (cf.
lemme de Neyman-Pearson).
2.
pv = P H0 ( ¯
X > ¯
x)
= P H0
¯
X − µ 0
σ/
√
n
>
¯
x − µ 0
σ/
√
n
= P H0
Z <
¯
x − µ 0
σ/
√
n
= 1 − P H0
Z <
¯
x − µ 0
σ/
√
n
= 1 − Φ
¯
x − µ 0
σ/
√
n
= g(¯ x, µ 0 , σ, n)