246 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
L’estimateur des moments ˆ
α M de α est donc
ˆ
α M =
X
1 − X
= g(X).
2. Pour connaˆ ıtre la variance de X, il faut chercher son 2
e moment
E(X
2 ) =
1
0
αx
α+1 dx =
α
α + 2
x
α+2
x=1
x=0
=
α
α + 2
.
On en d´ eduit
var(X) = E(X
2 ) − E
2 (X) =
α
(α + 2)(α + 1) 2 .
Finalement
√
n(X − µ) ∼ N
0 ,
α
(α + 2)(α + 1) 2
car X n’est pas biais´ e.
3. La d´ eriv´ ee de la fonction g(µ) par rapport `
a µ est
∂
∂µ
g(µ) =
∂
∂µ
µ
1 − µ
=
∂
∂µ
1
1 − µ
− 1
=
1
(1 − µ) 2 .
La variance approxim´ ee de ˆ
α M est par cons´ equent
var(ˆ α M )
∂g(µ)
∂µ
2 σ
2
n
=
1
(1 − µ) 2
2 σ
2
n
=
α
n(α + 2)
.
4. Pour tester la convergence de l’estimateur ˆ
α M , calculons sa limite en
probabilit´ e
plim n→∞
X
1 − X
=
plim n→∞ X
1 − plim n→∞ X
=
α
α+1
1 −
α
α+1
= α.
L’estimateur est convergent.
5. L’estimateur est efficace si sa variance atteint la borne de Cram´ er-Rao.
Il faut donc calculer cette derni` ere. Reprenons la fonction log f α (x) et
d´ erivons-la ` a 2 reprises par rapport `
a α
∂
∂α
log f α (x) =
∂
∂α
(log α + (α − 1) log x) =
1
α
+ log x
⇒
∂
2
∂α 2 log f α (x) = −
1
α 2 .
On en d´ eduit l’information de Fisher J(α)
J(α) =
1
α 2 ,