8. Inf´ erence 243
La statistique optimale est ˜
T (k 1 , . . . , k n ) =
n
i=1 log(k i − 1), o` u k i ≥ 2,
et ˆ
θ MV =
1
¯
k
n’est pas optimale.
8. On peut utiliser le th´ eor` eme central limite. Pour cela il est n´ ecessaire de
calculer E( ˜
T ) et var( ˜
T ), et donc E(log(X − 1)) et var(log(X − 1)), o` u
X ≥ 2. Ceci demande le calcul des s´ eries
E(log(X − 1)) =
∞
k=2
log(k − 1)θ(1 − θ)
k−1
= θ
∞
k=1
(log k)(1 − θ)
k .
et
E
(log(X − 1))
2
=
∞
k=2
(log(k − 1))
2 θ(1 − θ)
k−1
= θ
∞
k=1
(log k)
2 (1 − θ)
k .
8.51
1. L’intervalle de confiance `
a 95 % pour µ vaut
IC(µ, 95 %) = ¯
X ± z 0,975
s
√
n
= 21,5 ± 1,96
1,8
√
100
= [21,15 ; 21,85]
2. On veut tester
H 0 : µ = 21
H A : µ = 21.
Puisque la valeur 21 n’appartient pas `
a l’intervalle de confiance d´ eriv´ e
en 1., on rejette H 0 au seuil de 5 %.
3. Soit π la vraie proportion de m´ enages qui consomment moins de 20 kg
de pain par mois. On d´ efinit
X i =
1 si le m´ enage i consomme moins de 20 kg/mois
0 sinon.
On utilise ˆ
π = ¯
x pour construire l’intervalle de confiance
IC(π, 95 %) = ˆ
π ± z 0,975
ˆ
π(1 − ˆ
π)
n
= [0,23 ± 1,96 · 0,042]
= [0,15 ; 031]