244 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
4. On a l’intervalle de confiance
IC(µ, 95 %) = ¯
x ± z 1−α/2
s
√
n
= 21,5 ± 1,96
1,8
√
11
= [20,44 ; 22,56]
Cet intervalle est plus large que celui trouv´ e en 1. En effet n est plus
petit, l’IC est donc moins pr´ ecis.
8.52
1. La fonction de distribution d’une variable al´ eatoire X suivant une loi de
Dagum s’obtient par la d´ erivation de F β (x) par rapport `
a x
f β (x) =
2β
x 3
1 +
1
x 2
−β−1
.
La vraisemblance d’un ´ echantillon de taille n de variables al´ eatoires suivant une loi de Dagum est alors
L(β | x 1 , . . . , x n ) = 2
n β
n
n
i=1
x
−3
i
1 +
1
x 2
i
−β−1
et sa log-vraisemblance
l(β | x 1 , . . . , x n ) = n log 2+n log β−3
n
i=1
log x i −(β+1)
n
i=1
log
1 +
1
x 2
i
.
On obtient l’estimateur du maximum de vraisemblance ˆ
β de β en optimisant la log-vraisemblance
∂
∂β
l(β | x 1 , . . . , x n ) =
n
β
−
n
i=1
log
1 +
1
x 2
i
⇒ ˆ
β =
n
n
i=1 log
1 +
1
x 2
i
.
2. Pour calculer l’information de Fisher J(β), on d´ erive 2 fois la fonction
log f β (x) par rapport `
a β
∂
∂β
log f β (x) =
1
β
− log
1 +
1
x 2
⇒
∂
2
∂β 2 log f β (x) = −
1
β 2 ,