8. Inf´ erence 241
5. (a) Le taux de couverture de I 1 est
P (θ ∈ I 1 ) = P (a ˆ
θ 2 < θ < b ˆ
θ 2 )
= P
θ
b
< ˆ
θ 2 <
θ
a
=
1
a
n
−
1
b
n
,
o` u l’on a utilis´ e la fonction de r´ epartition de ˆ
θ 2 calcul´ ee en 2. pour
obtenir la derni` ere ligne ci-dessus (par la condition 1 ≤ a < b, on a
bien que
θ
a ≤ θ et
θ
b ≤ θ).
(b) Le taux de couverture de I 2 est
P (θ ∈ I 2 ) = P ( ˆ
θ 2 + c ≤ θ ≤ ˆ
θ 2 + d)
= P (θ − d ≤ ˆ
θ 2 ≤ θ − c)
=
θ − c
θ
n
−
θ − d
θ
n
,
o` u l’on a bien 0 ≤ θ − c ≤ θ et 0 ≤ θ − d ≤ θ, car 0 ≤ c < d ≤ θ.
On remarque que le taux de couverture de l’intervalle I 2 d´ epend
de θ, alors que I 1 en est ind´ ependant.
(c) Posons b = 2a. On r´ esout
1
a
n
−
1
2a
n
= 0,95
⇔
1
a n
1 −
1
2 n
= 0,95
⇔
a
n =
1
0,95
1 −
1
2 n
⇔
a =
1
n
√
0,95
n
1 −
1
2 n
(a ≥ 1).
8.50
1. (k − 1) ´ echecs avant un succ` es.
k − 1 ´ echecs : prob = (1 − θ) · (1 − θ) . . . (1 − θ) = (1 − θ)
k−1
1 succ` es
: prob = θ
2. La log-vraisemblance s’´ ecrit
log P (X = k) = log θ + (k − 1) log(1 − θ),