8. Inf´ erence 239
3. Pour tester la convergence des 3 estimateurs, on ´ etudie le comportement
de leur ECM lorsque n → ∞
lim
n→∞
ECM( ˆ
θ 1 , θ) = 0,
lim
n→∞
ECM( ˆ
θ 2 , θ) = 0,
lim
n→∞
ECM( ˆ
θ 3 , θ) = θ
2 ,
Les estimateurs ˆ
θ 1 et ˆ
θ 2 sont donc convergents, mais nous ne pouvons pas
conclure pour ˆ
θ 3 . Il faut alors regarder la fonction de r´ epartition de ˆ
θ 3
qui est
F ˆ
θ3 (t) = P ( ˆ
θ 3 < t) = P (Y < t/n) = F Y (t/n) = 1 − exp(t/θ),
o` u l’on a utilis´ e le r´ esultat du point 2. Puisque lim n→∞ F ˆ
θ3 (t) = 1, l’estimateur ˆ
θ 3 n’est pas convergent.
4. Soit λ = 1/θ et Z = λ · min(X 1 , . . . ,X n ) une nouvelle variable al´ eatoire.
La fonction de r´ epartition F Z (z) de Z est
F Z (z) = P (Z < z) = P (λ · min(X 1 , . . . , X n ) < z)
= P
Y <
z
λ
= F Y
z
λ
= 1 − exp
−
z
λ
nλ
= 1 − exp(−zn).
La variable al´ eatoire Z suit bien une loi exponentielle de param` etre n.
Par cons´ equent, le degr´ e de confiance de l’intervalle de confiance pour λ
devient
P (a/ min(X 1 , . . . , X n ) < λ < b/ min(X 1 , . . . , X n )) =
= P (a < λ min(X 1 , . . . , X n ) < b)
= F Z (b) − F Z (a) = 1 − exp(−bn) − (1 − exp(−an))
= exp(−an) − exp(−bn).
8.49
1. Puisque
E( ˆ
θ 1 ) = E(2 ¯
X) = 2E(X i ) = 2 ·
θ
2
= θ,
l’estimateur ˆ
θ 1 est non biais´ e.
2. Pour 0 ≤ t ≤ θ, la fonction de r´ epartition de ˆ
θ 2 est :
F ˆ
θ2 (t) = P (max(X 1 , . . . , X n ) ≤ t) = P (X 1 < t, . . . , X n ≤ t)
= (P (X i ≤ t))
n =
t
θ
n
.