8. Inf´ erence 237
et q(α) est le α-quantile de la distribution de Gumbel. Le 0,9-quantile
peut par cons´ equent ˆ etre estim´ e par
ˆ
q 0,9 = ˆ
ξ M −
√
6 log(− log(0,9)) = X −
√
6(γ + log(− log(0,9))).
6. Une fois encore, le th´ eor` eme central limite implique qu’approximativement
ˆ
q 0,9 − E(ˆ q 0,9 )
var(ˆ q 0,9 )
∼ N (0,1),
avec
E(ˆ q 0,9 ) = E(X)−
√
6(γ −log(− log(0,9))) = ξ ±
√
6 log(− log(0,9)) = q 0,9 ,
et
var(ˆ q 0,9 ) = var(X) =
π
2
n
.
Par cons´ equent, on obtient un intervalle de confiance au degr´ e (1 − α)
pour le quantile q 0,9
−z 1−α/2 <
ˆ
q 0,9 − q 0,9
π 2 /n
< z 1−α/2
⇔ IC = [ˆ q 0,9 ±
π
√
n
z 1−α/2 ].
7. Au vu des donn´ ees observ´ ees, la valeur estim´ ee du 0,9-quantile est
ˆ
q 0,9 = 372,05 − 1,41 + 5,51 = 376,15 e.
8. La valeur de 374,80 e est en dessous du 0,9-quantile ; ce n’est pas un
niveau exceptionnel.
8.48
Soient les 3 estimateurs suivants
ˆ
θ 1 = X, ˆ
θ 2 =
1
n + 1
n
i=1
X i et ˆ
θ 3 = n · min(X 1 , . . . , X n ).
1. Les X i provenant d’une loi exponentielle de param` etre θ
−1 , on a E(X i ) =
θ et var(X i ) = θ
2 . On calcule alors l’esp´ erance des estimateurs ˆ
θ 1 et ˆ
θ 2 :
E( ˆ
θ 1 ) = E(X) = E(X i ) = θ,
et
E( ˆ
θ 2 ) = E
1
n + 1
n
i=1
E(X i )
=
n
n + 1
θ.