234 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
Soit L =
n
i=1 ε
2
i =
n
i=1 (y i − α − β 1 x i − β 2 x
2
i )
2 et les conditions de
premier ordre :
∂L
∂α = 0
∂L
∂β1 = 0
∂L
∂β2 = 0
⇒
n
i=1 (y i − α − β 1 x i − β 2 x
2
i ) = 0
n
i=1 (y i − α − β 1 x i − β 2 x
2
i )x i = 0
n
i=1 (y i − α − β 1 x i − β 2 x
2
i )x
2
i = 0.
4. Vu la forme quadratique et convexe des r´ esidus, on peut supposer que,
dans le march´ e immobilier, les maisons neuves aussi bien que les maisons
anciennes ont des prix ´ elev´ es contrairement aux maisons d’ˆ age moyen.
8.46
1. L’intervalle de confiance `
a 95 % pour µ vaut
IC(µ, 95 %) = ¯
X ±
ˆ
σ
√
n
z 0,975
= 14 ±
2
√
100
1,96
= 14 ± 0,392
= [13,61 ; 14,39]
2. Soit p =« la proportion de m´ enages pr´ ef´ erant un produit sans phosphates », et
X i =
1 si le m´ enage i pr´ ef` ere un produit sans phosphates
0 sinon.
On estime la proportion de m´ enages qui pr´ ef` erent un produit sans phosphates par
n
i=1 X i qui est une variable al´ eatoire distribu´ ee selon une loi
binomiale de param` etres (100, p).
On veut tester
H 0 : p = 0,25
H A : p > 0,25,
` a l’aide de la statistique
n
i=1 X i − np
np(1 − p)
qui suit approximativement une loi normale centr´ ee et r´ eduite.
La p-valeur est
P H0
n
i=1
X i > 30
= P
Z >
30 − 25
√
18,75
= P (Z > 1,154) = 0,124,
ce qui ne fournit pas assez d’´ evidence pour rejeter H 0 au seuil de 5 %.
Soit L =
n
i=1 ε
2
i =
n
i=1 (y i − α − β 1 x i − β 2 x
2
i )
2 et les conditions de
premier ordre :
∂L
∂α = 0
∂L
∂β1 = 0
∂L
∂β2 = 0
⇒
n
i=1 (y i − α − β 1 x i − β 2 x
2
i ) = 0
n
i=1 (y i − α − β 1 x i − β 2 x
2
i )x i = 0
n
i=1 (y i − α − β 1 x i − β 2 x
2
i )x
2
i = 0.
4. Vu la forme quadratique et convexe des r´ esidus, on peut supposer que,
dans le march´ e immobilier, les maisons neuves aussi bien que les maisons
anciennes ont des prix ´ elev´ es contrairement aux maisons d’ˆ age moyen.
8.46
1. L’intervalle de confiance `
a 95 % pour µ vaut
IC(µ, 95 %) = ¯
X ±
ˆ
σ
√
n
z 0,975
= 14 ±
2
√
100
1,96
= 14 ± 0,392
= [13,61 ; 14,39]
2. Soit p =« la proportion de m´ enages pr´ ef´ erant un produit sans phosphates », et
X i =
1 si le m´ enage i pr´ ef` ere un produit sans phosphates
0 sinon.
On estime la proportion de m´ enages qui pr´ ef` erent un produit sans phosphates par
n
i=1 X i qui est une variable al´ eatoire distribu´ ee selon une loi
binomiale de param` etres (100, p).
On veut tester
H 0 : p = 0,25
H A : p > 0,25,
` a l’aide de la statistique
n
i=1 X i − np
np(1 − p)
qui suit approximativement une loi normale centr´ ee et r´ eduite.
La p-valeur est
P H0
n
i=1
X i > 30
= P
Z >
30 − 25
√
18,75
= P (Z > 1,154) = 0,124,
ce qui ne fournit pas assez d’´ evidence pour rejeter H 0 au seuil de 5 %.