232 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
4. La variance de ˆ
θ MC atteint la borne de Cram´ er-Rao. Son efficacit´ e est
donc ´ egale `
a 1.
5. Soit T la statistique d´ efinie selon
T =
n
i=1 x
2
i Y i
n
i=1 x 4
i
= ˆ
θ MC ,
avec T ∼ N
θ ,
σ
2
P n
i=1 x 4
i
. On construit l’intervalle de confiance au degr´ e (1 − α) depuis
P

 −z 1−α/2 <
P n
i=1 x
2
i Yi
P n
i=1 x 4
i
− θ
σ
√ P n
i=1 x 4
i
< z 1−α/2

 = 1 − α
⇔ IC =
n
i=1 x
2
i Y i
n
i=1 x 4
i
±
σz 1−α/2
n
i=1 x 4
i
.
8.43
1. Construisons un intervalle de confiance pour α. Soit ˆ
α MV l’estimateur du
maximum de vraisemblance de α. Soit la statistique de test T telle que
T =
ˆ
α MV − α
var(ˆ α MV )
.
La statistique T suit une loi de Student `
a n − 2 degr´ es de libert´ e. On
trouve alors l’intervalle de confiance suivant
IC =
ˆ
α MV ± t n−2;1−α/2
var(ˆ α MV )
,
o` u t n−2;1−α/2 est le α/2-quantile d’une loi de Student `
a n − 2 degr´ es de
libert´ e. De la mˆ eme mani` ere, on trouve un intervalle de confiance pour le
param` etre β :
IC =
ˆ
β MV ± t n−2;1−α/2
var( ˆ
β MV )
.
2. Faisons maintenant l’hypoth` ese nulle H 0 : β = 0. La statistique de test T
pour β sous l’hypoth` ese nulle est
T =
ˆ
β MV
var( ˆ
β MV )
.
Cette statistique suit elle aussi une loi de Student `
a n−2 degr´ es de libert´ e.
On rejette l’hypoth` ese nulle si la p-valeur est inf´ erieure au seuil α choisi.