230 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
8.41
On fait les hypoth` eses suivantes sur les peintures :
H 0 : mˆ eme comportement
H A : comportement diff´ erent.
On a 22 observations r´ eparties dans g = 4 groupes (i = 1, . . . , 4) : n 1 = n 4 = 6
et n 2 = n 3 = 5. Les moyennes des observations de chacun des groupes sont
y 1· 87,67, y 2· = 89,6, y 3· = 88,4 et y 4· 84,67. La moyenne de toutes les
observations est y ·· 87,45. Soient les deux statistiques
SS B =
4
i=1
n j (y i· − y ·· )
2
SS W =
4
i=1
ni
j=1
(y ij − y i· )
2 .
Les valeurs observ´ ees de ces statistiques sont ss B,obs 74,39 et ss W,obs
265,07. Soit F une nouvelle statistique d´ efinie par
F =
SS B /(g − 1)
SS W /(N − g)
,
o` u N =
4
i=1 n i .
Sous l’hypoth` ese nulle, F suit une loi de Fisher ` a g − 1 = 3 degr´ es de libert´ e
au num´ erateur et N − g = 22 − 4 = 18 degr´ es de libert´ e au d´ enominateur. La
valeur observ´ ee de la statistique est f obs 1,68. Le quantile `
a 95 % de la loi de
Fisher vaut environ 3,16. Par cons´ equent, on ne rejette pas l’hypoth` ese nulle ;
on ne peut pas prouver que les peintures se comportent diff´ eremment.
8.42
1. La variable al´ eatoire Y i suit une loi normale d’esp´ erance θx
2
i et de variance σ
2 .
2. L’estimateur des moindres carr´ es ˆ
θ MC de θ est celui qui minimise la quantit´ e
S(θ) =
n
i=1
(Y i − θx i )
2 .
On calcule la d´ eriv´ ee de S(θ) par rapport `
a θ
∂
∂θ
S(θ) = −2
n
i=1
x
2
i (Y i − θx
2
i ),
8.41
On fait les hypoth` eses suivantes sur les peintures :
H 0 : mˆ eme comportement
H A : comportement diff´ erent.
On a 22 observations r´ eparties dans g = 4 groupes (i = 1, . . . , 4) : n 1 = n 4 = 6
et n 2 = n 3 = 5. Les moyennes des observations de chacun des groupes sont
y 1· 87,67, y 2· = 89,6, y 3· = 88,4 et y 4· 84,67. La moyenne de toutes les
observations est y ·· 87,45. Soient les deux statistiques
SS B =
4
i=1
n j (y i· − y ·· )
2
SS W =
4
i=1
ni
j=1
(y ij − y i· )
2 .
Les valeurs observ´ ees de ces statistiques sont ss B,obs 74,39 et ss W,obs
265,07. Soit F une nouvelle statistique d´ efinie par
F =
SS B /(g − 1)
SS W /(N − g)
,
o` u N =
4
i=1 n i .
Sous l’hypoth` ese nulle, F suit une loi de Fisher ` a g − 1 = 3 degr´ es de libert´ e
au num´ erateur et N − g = 22 − 4 = 18 degr´ es de libert´ e au d´ enominateur. La
valeur observ´ ee de la statistique est f obs 1,68. Le quantile `
a 95 % de la loi de
Fisher vaut environ 3,16. Par cons´ equent, on ne rejette pas l’hypoth` ese nulle ;
on ne peut pas prouver que les peintures se comportent diff´ eremment.
8.42
1. La variable al´ eatoire Y i suit une loi normale d’esp´ erance θx
2
i et de variance σ
2 .
2. L’estimateur des moindres carr´ es ˆ
θ MC de θ est celui qui minimise la quantit´ e
S(θ) =
n
i=1
(Y i − θx i )
2 .
On calcule la d´ eriv´ ee de S(θ) par rapport `
a θ
∂
∂θ
S(θ) = −2
n
i=1
x
2
i (Y i − θx
2
i ),