228 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
8.38
1. `
A l’aide d’une table de contingence, on aimerait tester l’hypoth` ese nulle
qui suppose l’ind´ ependance entre le fait d’ˆ etre daltonien et le sexe d’un
patient. R´ ecrivons la table sous la forme suivante
homme femme total
normal
O 11
O 12
O 1+
daltonien
O 21
O 22
O 2+
total
O +1
O +2
O ++
On d´ efinit E ij = O i+ O +j /O ++ et la statistique de test X
2 comme
X
2 =
2
i=1
2
j=1
(O ij − E ij )
2
E ij
.
Sous l’hypoth` ese nulle, X
2 suit une distribution χ
2 avec (2−1)×(2−1) =
1 degr´ e de libert´ e. La valeur observ´ ee de la statistique est x
2
obs 27,14.
La valeur critique de la statistique `
a un seuil de 1 % est environ 6,63. Par
cons´ equent, on rejette l’hypoth` ese nulle ; le daltonisme d´ epend du sexe
du patient.
2. On veut maintenant tester l’hypoth` ese nulle affirmant que les mesures
suivent le mod` ele de fr´ equences tel qu’il est donn´ e dans l’´ enonc´ e. La
proportion de daltoniens mesur´ ee dans l’´ echantillon est ˆ
q = 0,044. Soit la
statistique de test X
2 d´ efinie comme
X
2 =
4
i=1
(O i − E i )
2
E i
,
o` u E i est la quantit´ e esp´ er´ ee selon le mod` ele et O i celle qui est effectivement observ´ ee pour l’observation i. La statistique X
2 suit approximativement une loi χ
2 ` a 2 degr´ es de libert´ e sous l’hypoth` ese nulle. La valeur
observ´ ee de la statistique est x
2
obs 40 et donne une p-valeur ´ egale `
a 0.
L’hypoth` ese nulle est donc rejet´ ee ; les mesures ne suivent pas le mod` ele
g´ en´ etique.
8.39
Soit le tableau de contingence
Fumeur Non fumeur Total
Chocolat
400
200
600
Pas de chocolat
300
100
400
Total
700
300
1 000
8.38
1. `
A l’aide d’une table de contingence, on aimerait tester l’hypoth` ese nulle
qui suppose l’ind´ ependance entre le fait d’ˆ etre daltonien et le sexe d’un
patient. R´ ecrivons la table sous la forme suivante
homme femme total
normal
O 11
O 12
O 1+
daltonien
O 21
O 22
O 2+
total
O +1
O +2
O ++
On d´ efinit E ij = O i+ O +j /O ++ et la statistique de test X
2 comme
X
2 =
2
i=1
2
j=1
(O ij − E ij )
2
E ij
.
Sous l’hypoth` ese nulle, X
2 suit une distribution χ
2 avec (2−1)×(2−1) =
1 degr´ e de libert´ e. La valeur observ´ ee de la statistique est x
2
obs 27,14.
La valeur critique de la statistique `
a un seuil de 1 % est environ 6,63. Par
cons´ equent, on rejette l’hypoth` ese nulle ; le daltonisme d´ epend du sexe
du patient.
2. On veut maintenant tester l’hypoth` ese nulle affirmant que les mesures
suivent le mod` ele de fr´ equences tel qu’il est donn´ e dans l’´ enonc´ e. La
proportion de daltoniens mesur´ ee dans l’´ echantillon est ˆ
q = 0,044. Soit la
statistique de test X
2 d´ efinie comme
X
2 =
4
i=1
(O i − E i )
2
E i
,
o` u E i est la quantit´ e esp´ er´ ee selon le mod` ele et O i celle qui est effectivement observ´ ee pour l’observation i. La statistique X
2 suit approximativement une loi χ
2 ` a 2 degr´ es de libert´ e sous l’hypoth` ese nulle. La valeur
observ´ ee de la statistique est x
2
obs 40 et donne une p-valeur ´ egale `
a 0.
L’hypoth` ese nulle est donc rejet´ ee ; les mesures ne suivent pas le mod` ele
g´ en´ etique.
8.39
Soit le tableau de contingence
Fumeur Non fumeur Total
Chocolat
400
200
600
Pas de chocolat
300
100
400
Total
700
300
1 000