226 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
2. Il s’agit ici de faire un test d’ind´ ependance pour tester
H 0 : l’appr´ eciation est ind´ ependante du sexe de l’´ etudiant
H A : H 0 est fausse.
Sur la base du tableau des fr´ equences esp´ er´ ees (E ij ) suivant
Bonnes Moyennes Mauvaise Total
Hommes
14,28
11,33
7,39
33
Femmes
14,72
11,67
7,61
34
Total
29
23
15
on proc` ede ` a un test d’ind´ ependance du χ
2 , avec la statistique
X
2 =
2
i=1
3
j=1
(O ij − E ij )
2
E ij
,
qui suit une loi χ
2
2 sous H 0 . La valeur observ´ ee x
2
obs est 1,30, plus petite
que le quantile `
a 95 % de la loi χ
2
2 qui vaut 5,99. On ne peut donc pas
rejeter H 0 .
8.35
Soit l’hypoth` ese nulle H 0 « l’habitude et la pr´ ef´ erence sont ind´ ependants. »
Sous H 0 , on aurait dˆ u observer
habituellement boivent
A
B
total
ont
A
5 5
5 5
110
pr´ ef´ er´ e B
4 5
4 5
90
total
100
100
200
Soit X
2 la statistique de test d´ efinie par
X
2 =
2
i=1
2
j=1
(E ij − O ij )
2
E ij
,
o` u E ij et O ij sont respectivement les quantit´ es esp´ er´ ees et observ´ ees dans la
cat´ egorie (i, j). Cette statistique suit une loi χ
2 ` a 1 degr´ e de libert´ e et la valeur
que l’on observe sur l’´ echantillon est x
2
obs 8,08. La p-valeur correspondante
est alors
p-valeur = P (X > 8,08) 0,0045
et elle implique que l’hypoth` ese nulle est rejet´ ee ; l’habitude et la pr´ ef´ erence
sont d´ ependants.