8. Inf´ erence 225
On rejette donc l’hypoth` ese nulle au seuil de 5 % et on ne la rejette pas au
seuil de 1 %.
8.33
Soit X i une variable al´ eatoire qui vaut 1 avec une probabilit´ e p si la fleur i
est rouge et 0 sinon. Les hypoth` eses que l’on veut tester sont
H 0 : p =
3
4
H A : p =
3
4 .
Soit S =
500
i=1 X i qui suit une loi binomiale de param` etres (500, p) et T la
statistique de test d´ efinie par
T =
S − E(S)
var(S)
.
Par approximation du th´ eor` eme central limite, T suit une loi normale centr´ ee
et r´ eduite. La valeur observ´ ee de la statistique sur l’´ echantillon est
t obs =
350 − 500
3
4
500
3
4
1
4
−2,58
et on en d´ eduit la p-valeur
p-valeur = P H0 (| T |>| t obs |) = P (| T |>| −2,58 |) = 2 − 2Φ(2,58) 0,01.
On rejette l’hypoth` ese nulle ` a 5 %, mais la d´ ecision n’est pas claire `
a 1 %. En
d’autres termes, la loi de Mendel n’est pas v´ erifi´ ee pour un seuil de 5 %.
8.34
1. Il faut proc´ eder `
a un test d’ad´ equation. On teste
H 0 : les r´ eponses sont uniform´ ement distribu´ ees
H A : H 0 est fausse.
On utilise la statistique du test d’ad´ equation du χ
2
X
2 =
5
i=1
(O i − E i )
E i
∼ X
2
4 .
Par l’hypoth` ese d’uniformit´ e sous H 0 , les valeurs observ´ ees E i sont toutes
´ egales ` a 13,4, ce qui donne
x
2
obs =
1
13,4
(1,96 + 12,96 + 31,36 + 5,76 + 29,16) =
81,2
13,4
= 6,06.
Or, le quantile `
a 95 % de la loi χ
2 avec 4 degr´ es de libert´ e est ´ egal `
a 9,49
qui est plus grand que x
2
obs . On ne peut donc pas rejeter H 0 .