224 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
8.31
On a la table de contingence
Gauchers Droitiers Total
Fume
190
300
490
Ne fume pas
210
500
710
Total
400
800 1 200
On teste l’hypoth` ese nulle H 0 : « la proportion de fumeurs est identique chez
les droitiers et les gauchers. » Soit O ij la quantit´ e r´ eellement observ´ ee et E ij
la quantit´ e esp´ er´ ee sous l’hypoth` ese nulle pour la cat´ egorie (i, j), o` u i = 1 si la
personne est gauch` ere et j = 1 si elle fume. On obtient
O ij E ij (O ij − E ij )
2 /E ij
190 163
4,37
210 237
3,01
300 327
2,18
500 473
1,51
Soit la statistique X
2 =
2
i=1
2
j=1
(Oij −Eij )
2
Eij
qui suit une loi χ
2 ` a 1 degr´ e de
libert´ e. La valeur observ´ ee de la statistique est x
2
obs 11,1 et on en d´ eduit la
p-valeur
p-valeur = P (X
2 > 11,1) 0,001.
On rejette donc H 0 au seuil de 5 %.
8.32
Sous l’hypoth` ese nulle, Z ∼ N(100, 225). On compare les valeurs esp´ er´ ees sous l’hypoth` ese nulle par rapport aux valeurs r´ eellement observ´ ees. Par
exemple, pour la 1
re classe, la valeur esp´ er´ ee est
E 1 = E [0,70) = 1 000 · P H0 (Z ∈ [0, 70)) 1 000 · 0,0228 = 22,8.
Score
observ´ es (O i ) esp´ er´ es (E i ) (O i − E i )
2 /E i
[0,70)
34
22,8
5,50
[70,85)
114
135,9
3,53
[85,100)
360
341,3
1,02
[100,115)
344
341,3
0,02
[115,130)
120
135,9
1,86
[130,∞)
28
22,8
1,19
La somme X
2 =
6
i=1 (O i − E i )
2 /E i = 13,12 est la valeur sur l’´ echantillon
de la statistique de test qui suit une loi χ
2
5 . La p-valeur est ainsi
p-valeur = P H0 (T > 13,12) 0,022.