8. Inf´ erence 223
2. On proc` ede ` a un test de Student pour 2 ´ echantillons. Les hypoth` eses sont
H 0 : µ L = µ W
H A : µ L > µ W .
Les variances ´ etant diff´ erentes, on utilise la statistique de test
T =
X L − X W
ˆ
σ 2
L +ˆ σ 2
W
n
qui suit approximativement une loi de Student `
a n − 1 degr´ es de libert´ e.
La valeur observ´ ee de cette statistique est t obs 2,54 et elle est sup´ erieure
au quantile t 0,95 1,83 ce qui signifie que l’on rejette H 0 . On en d´ eduit
que les dur´ ees d’installation des 2 logiciels semblent diff´ erentes.
3. (a) Maintenant que les variances sont connues, la statistique de test
devient
˜
T =
X L − X W
σ 2
L +σ 2
W
n
.
(b) ˜
T suit une loi normale centr´ ee et r´ eduite.
(c) si z 1−α est le α-quantile de la loi normale centr´ ee r´ eduite, la puissance du test s’´ ecrit
β = P HA (T > z 1−α ) = P HA

 X L − X W
σ 2
L +σ 2
W
n
> z 1−α


= 1 − P HA

 (X L − X W ) − (µ L − µ W )
σ 2
L +σ 2
W
n
< z 1−α −
(µ L − µ W )
σ 2
L +σ 2
W
n


= 1 − Φ

 z 1−α −
(µ L − µ W )
σ 2
L +σ 2
W
n

 .
Cela signifie que
1 − β = Φ
z 1−α −
(µ L − µ W )
σ 2
L + σ 2
W
√
n
,
donc
z 1−β = z 1−α −
(µ L − µ W )
σ 2
L + σ 2
W
√
n,
et finalement
n =

 z 1−α − z 1−β
µL−µW
√
σ 2
L +σ 2
W


2
1,64 + 0,84
10
√ 225+100
2
20.