222 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
2. Puisque Z suit approximativement une loi normale centr´ ee r´ eduite, on
cherche un intervalle de confiance pour µ tel que
P (−z 0,995 < Z < z 0,995 ) = 0,99.
On trouve donc
IC =
X ± z 0,995 ˆ
σ
= [53,36 ; 610,64],
qui, comme attendu, ne contient pas la valeur 0.
3. Calculons la valeur critique k 0,99
P H0 (T > k 0,99 ) = 0,01 ⇔ k 0,99 = ˆ
σ · z 0,99 251,64.
On en d´ eduit la puissance du test par rapport `
a l’alternative µ = 150
β(150) = P µ=150 (T > k 0,99 ) =
= P
Z >
251,64 − 150
108
P (Z > 0,94) 0,17.
4. Pour d´ eterminer la taille n de l’´ echantillon qui assure une puissance de
test ´ egale `
a 80 %, on utilise la relation suivante
n =
z 1−α − z 1−β
(µ A − µ 0 )/(ˆ σ ·
√
N )
2
,
o` u N = 200 est la taille du premier ´ echantillon. On a donc
n
2,33 + 0,84
150/(108
√
200)
2
1 022.
8.30
1. Soient X L et X W les temps moyens d’installation de Linux et de WinNT.
En utilisant le th´ eor` eme central limite, on a pour l’installation de Linux
que
Z L =
X L − µ L
ˆ
σ L /
√
n
∼ N (0,1)
et la mˆ eme chose avec Z W pour WinNT.
Pour Linux, on a x L 167 et ˆ
σ L 14,4 ce qui donne l’intervalle de
confiance `
a 95 % suivant
IC 167 ± 1,96
14,4
√
10
[158 ; 176] .
En ce qui concerne WinNT, x W 154, ˆ
σ W 8,19 et IC [149 ; 159].