8. Inf´ erence 221
2. Pour calculer la puissance du test, il faut trouver la valeur critique k 0,01 :
P H0 (T < k 0,01 ) = P
Z <
k 0,01 − 95
1,2/
√
16
= 0,01.
On obtient
k 0,01 =
1,2
4
· z 0,01 + 95 94,30.
Si la vraie valeur de µ est 94, l’erreur de 2
e esp` ece est
P HA (T > k 0,01 ) P
Z >
94,30 − 94
1,2/4
0,16
et, par cons´ equent, la puissance du test est
β(94) 0,84.
3. On aimerait trouver la valeur de n qui assure une puissance de test d’au
moins 0,99. On utilise la relation suivante
n =
z 1−α − z 1−β
(µ A − µ 0 )/σ
2
,
o` u β est la puissance du test et α son seuil. Ici, on obtient
n =
z 0,99 − z 0,01
(94 − 95)/1,2
2
31,3.
La taille de l’´ echantillon n doit valoir au moins 32 pour assurer une puissance de 0,99.
8.29
Soit µ l’esp´ erance de l’augmentation du chiffre d’affaire parmi les clients de
l’´ echantillon et soient les hypoth` eses
H 0 : µ = 0
H A : µ > 0.
Soit la statistique de test T = X et la variable al´ eatoire Z d´ efinie par
Z =
T − µ
var(X)
.
Par le th´ eor` eme central limite, Z suit une loi normale de param` etres (0, 1).
1. Calculons la p-valeur
p-valeur = P H0 (T > 332) = P
Z >
332
108
P (Z > 3,07) 0,11 %.
On rejette l’hypoth` ese nulle, l’offre de la banque g´ en` ere une augmentation
du chiffre d’affaire.