220 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
La statistique de test est
Z =
X − λ
−1
1
√
λ 2 n
=
√
n(λX − 1),
La variable al´ eatoire Z suivant une loi normale centr´ ee et r´ eduite par hypoth` ese.
La statistique de test observ´ ee est x 27,6 et la p-valeur vaut
p-valeur 2 (1 − P (| Z |< 1,6)) 0,11.
On ne peut pas rejeter l’hypoth` ese nulle H 0 .
Les seuils critiques k 0,025 et k 0,975 pour α = 5 % sont d´ etermin´ es par
√
n(k 0,025 λ 0 − 1) = z 0,025
et
√
n(k 0,975 λ 0 − 1) = z 0,975 .
On trouve ainsi k 0,025 27,06 et k 0,975 32,94.
La puissance du test β pour l’alternative λ s’´ ecrit
β(λ) = 1 − P HA (27,06 < X < 32,94) =
= 1 − P
√
n(27,06λ − 1) < Z <
√
n(32,94λ − 1)
,
ce qui nous donne β(1/25) 95 %, β(1/28) 25 % et β(1/35) 88 %.
8.28
Soient les hypoth` eses
H 0 : µ = 95
H A : µ < 95,
la statistique de test T = X et la variable al´ eatoire Z telle que
Z =
T − µ
σ/
√
n
.
La statistique Z suit une loi normale de param` etres (0, 1) par hypoth` ese.
1. Calculons la p-valeur
p-valeur = P H0 (T < 94,32) = P
Z <
94,32 − 95
1,2/
√
16
0,012.
Au seuil de 1 %, on ne rejette pas l’hypoth` ese nulle.