8. Inf´ erence 219
L’erreur de 2
e esp` ece est
P HA (X > k 0,01 ) = P HA (X > k 0,01 ) = P
T >
1581 − 1570
30/
√
16
0,09,
et la puissance du test
β 0,91.
8.26
1. La densit´ e conjointe de l’´ echantillon est le produit
n
i=1
f θ (x i ) =
1
Γ n (α)
θ
nα
n
i=1
x i
α−1
exp
−θ
n
i=1
x i
.
Pour trouver le test le plus puissant, on se sert du lemme de NeymanPearson qui d´ efinit la r´ egion de rejet
n
i=1 f θ1 (x i )
n
i=1 f θ0 (x i )
=
1
Γ n (α) θ
nα
1 (
n
i=1 x i )
α−1 exp (−θ 1
n
i=1 x i )
1
Γ n (α) θ nα
0 (
n
i=1 x i )
α−1 exp (−θ 0
n
i=1 x i )
> k α ,
et comme θ 1 > 0 et θ 0 > 0, on a la r´ egion de rejet ´ equivalente
exp
(θ 0 − θ 1 )
n
i=1
x i
> ˜
k α
Finalement, la statistique de test est T =
n
i=1 X i et
T > c α , si θ 0 > θ 1
T < c α , si θ 0 < θ 1 .
La valeur critique c α est d´ etermin´ ee en approximant la distribution de T
par une loi normale.
2. Si l’hypoth` ese alternative est H A : θ > θ 0 , on proc` ede de la mˆ eme mani` ere
et on arrive ` a
T =
n
i=1
X i < c α .
8.27
Comme E(X) = λ
−1 , les hypoth` eses sont
H 0 : λ = λ 0 = 1/30
H A : λ = 1/30.