218 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
2. Pour d´ eterminer la puissance du test X, il faut d’abord calculer le seuil
critique k α
k α − µ 0
σ/
√
n
= z 1−α ⇔ k α = µ 0 + z 1−α
σ
√
n
457,4.
Calculons `
a pr´ esent la probabilit´ e d’erreur de 2
e esp` ece
P HA (X < k α ) = P
X − µ
σ/
√
n
<
k α − µ
σ/
√
n
= P
Z <
µ 0 − µ
σ/
√
n
+ z 1−α
= P
Z <
−10
100/
√
500
+ 1,645
P (Z < −0,59) 0,28.
La puissance du test au seuil de 5 % pour d´ etecter une augmentation de
10 points est donc
β 1 − 0,28 = 0,72.
Cela signifie qu’on d´ etectera une diff´ erence de 10 points environ 72 fois
sur 100.
8.25
1. On formule les hypoth` eses suivantes
H 0 : µ = 1 600
H A : µ < 1 600.
2. Soit la statistique de test
T =
X − µ
s/
√
n
,
qui suit une loi de Student `
a n − 1 degr´ es de libert´ e.
3. La valeur observ´ ee de la statistique est t obs = 1 590 et la p-valeur correspondante
p-valeur = P (X < t obs ) = P
T < −
4
3
0,101.
`
A un seuil de 1 %, on ne rejette pas l’hypoth` ese nulle.
4. Commen¸ cons par d´ eterminer la valeur critique k α .
k 0,01 − µ 0
s/
√
n
= t n−1;0,01 −2,6
⇔ k 0,01 1 581.