8. Inf´ erence 217
On trouve la puissance du test
β(µ) = P HA (X < 298) = P
T <
298 − µ
3/
√
6
= Φ
298 − µ
3
√
6
.
o` u Φ(·) est la fonction de r´ epartition de la loi normale. On obtient alors
1. β(299) 0,21 ;
2. β(295) 0,99 ;
3. β(290) 1.
8.23
Soit X 1 , . . . ,X 1 000 des variables al´ eatoires qui valent 1 si on obtient pile et
0 sinon. Elles suivent une loi de Bernoulli avec probabilit´ e p, p valant 1/2 si la
pi` ece est bien ´ equilibr´ ee et 0,55 dans le cas contraire. La somme S =
1 000
i=1 X i
suit alors une loi binomiale de param` etres (1 000, p).
1. Si la pi` ece est r´ eellement homog` ene
P (S > 525) = P
S − 500
√
250
>
525 − 500
√
250
1 − P (Z < 1,58) 0,06,
o` u Z suit une loi normale centr´ ee et r´ eduite par approximation.
2. Si la pi` ece est mal ´ equilibr´ ee
P (S < 525) = P
S − 550
√
247,5
<
525 − 550
√
247,5
P (Z < −1,59) 0,06.
Les 2 r´ esultats sont ´ egaux parce que le nombre de piles mesur´ e se trouve exactement au milieu de l’esp´ erance de S pour chacun des cas, et les variances ne
diff` erent que peu.
8.24
1. Les hypoth` eses formul´ ees sont
H 0 : µ = µ 0 = 450
H A : µ > 450.
Soit la statistique de test X. La valeur observ´ ee est x = 461. Calculons
la p-valeur
p-valeur = P H0 (X > x) = P
X − µ 0
σ/
√
n
>
x − µ 0
σ/
√
n
= P (Z > 2,46) 0,007,
o` u Z suit une loi normale de param` etres (0, 1) par le th´ eor` eme central limite. On rejette donc H 0 et on accepte l’hypoth` ese alternative.
En d’autres termes, on peut dire que la moyenne est sup´ erieure `
a 450.
On trouve la puissance du test
β(µ) = P HA (X < 298) = P
T <
298 − µ
3/
√
6
= Φ
298 − µ
3
√
6
.
o` u Φ(·) est la fonction de r´ epartition de la loi normale. On obtient alors
1. β(299) 0,21 ;
2. β(295) 0,99 ;
3. β(290) 1.
8.23
Soit X 1 , . . . ,X 1 000 des variables al´ eatoires qui valent 1 si on obtient pile et
0 sinon. Elles suivent une loi de Bernoulli avec probabilit´ e p, p valant 1/2 si la
pi` ece est bien ´ equilibr´ ee et 0,55 dans le cas contraire. La somme S =
1 000
i=1 X i
suit alors une loi binomiale de param` etres (1 000, p).
1. Si la pi` ece est r´ eellement homog` ene
P (S > 525) = P
S − 500
√
250
>
525 − 500
√
250
1 − P (Z < 1,58) 0,06,
o` u Z suit une loi normale centr´ ee et r´ eduite par approximation.
2. Si la pi` ece est mal ´ equilibr´ ee
P (S < 525) = P
S − 550
√
247,5
<
525 − 550
√
247,5
P (Z < −1,59) 0,06.
Les 2 r´ esultats sont ´ egaux parce que le nombre de piles mesur´ e se trouve exactement au milieu de l’esp´ erance de S pour chacun des cas, et les variances ne
diff` erent que peu.
8.24
1. Les hypoth` eses formul´ ees sont
H 0 : µ = µ 0 = 450
H A : µ > 450.
Soit la statistique de test X. La valeur observ´ ee est x = 461. Calculons
la p-valeur
p-valeur = P H0 (X > x) = P
X − µ 0
σ/
√
n
>
x − µ 0
σ/
√
n
= P (Z > 2,46) 0,007,
o` u Z suit une loi normale de param` etres (0, 1) par le th´ eor` eme central limite. On rejette donc H 0 et on accepte l’hypoth` ese alternative.
En d’autres termes, on peut dire que la moyenne est sup´ erieure `
a 450.