216 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
8.21
L’´ echantillon provenant d’une loi de Poisson de param` etre λ, on sait que
E(X) = var(X) = λ. On en tire les hypoth` eses de test
H 0 : λ = λ 0 = 25
H A : λ = 25.
La statistique de test est X et sa valeur observ´ ee x = 27. On se sert de la
nouvelle variable al´ eatoire normale centr´ ee et r´ eduite Z d´ efinie comme
Z =
X − λ
√
nλ
pour trouver la p-valeur
p-valeur = P H0
X − λ 0
√
nλ 0
>
27 − λ 0
√
nλ 0
P (| Z |> 2,19) 0,029.
On rejette donc l’hypoth` ese nulle ` a 5 %, mais pas ` a 1 %.
8.22
Soient les hypoth` eses
H 0 : µ = 300
H A : µ < 300.
La valeur moyenne mesur´ ee sur l’´ echantillon est de 299,03 mL. Soit la statistique
de test
T =
X − µ
σ/
√
n
.
Sous l’hypoth` ese de normalit´ e des X i , la statistique T suit une loi normale de
param` etres (0,1). La p-valeur est
p-valeur = P H0 (X < 299,03) =
= P
T <
299,03 − 300
3/
√
6
P (T < −0,792) 0,21.
On ne rejette donc pas l’hypoth` ese nulle. Pour d´ eterminer la puissance du test,
il est n´ ecessaire de calculer la valeur critique k α avec un seuil α = 5 %
P H0 (X < k 0,05 ) = P
T <
k 0,05 − 300
3/
√
6
= 0,05
⇔
k 0,05 − 300
3/
√
6
−1,64 ⇔ k 0,05 298.